44 



GINO ' FANO 



g' di R', la quale tenda (nel movimento di cui sopra) alla posizione g, è chiaro che, 

 delle h-\-k' sue intersezioni con R , k avranno la proprietà che le due rette della 

 congruenza uscenti da esse e distinte da g' tenderanno a coincidere; mentre ciò non 

 avverrà per le rimanenti k' . E da ciò si trae che, al variare della generatrice g' 

 sopra R', i primi k punti dovranno avere per luogo una curva completamente distinta 

 da quella che è luogo dei rimanenti k' ; vale a dire l'intersezione E R x sarà anche 

 riducibile, c. s. v. d. 



Stabilito così che l'intersezione variabile di due R qualunque è riducibile, ne 

 segue che nel fascio segato sopra una qualsiasi R dalle rimanenti, ogni curva si 

 comporrà di due parti distinte, entrambe variabili. E queste parti dovrebbero anche 

 appartenere rispett. a due diversi sistemi co 1 di curve; perchè, facendo avvicinare 

 indefinitamente due R, per tutti i punti di una delle due parti della loro interse- 

 zione, due dei tre raggi della congruenza che escono da questo punto devono anche 

 tendere a coincidere; mentre per i punti dell'altra parte ciò non avviene. Ora un 

 fascio di curve di questo tipo, nel quale cioè la curva generica si componga di due 

 parti variabili rispett. entro diversi sistemi oo 1 , non può esistere sopra nessuna super- 

 ficie irriducibile; rimane dunque escluso che le R possano avere una curva doppia 

 non appartenente alla superficie focale della congruenza. 



48. — Supponiamo ora (se possibile) che ogni R abbia una curva doppia ap- 

 partenente alla superficie focale della congruenza. Questa curva sarà allora una curva 

 cuspidale, e le R saranno perciò sviluppabili (uno dei due sistemi di sviluppabili 

 contenuti nella congruenza). Possiamo anche supporre che queste sviluppabili non 

 abbiano altra curva doppia, all'infuori dei rispettivi spigoli di regresso (se no si 

 ricadrebbe nell'ipotesi precedente); esse si comporranno dunque delle tangenti a 

 altrettante cubiche sghembe. 



Le R siano dunque sviluppabili biquadratiche circoscritte a cubiche sghembe. 

 Sia R una di 'esse, e To ha relativa curva cuspidale, la quale apparterrà anche alla R 

 tangenziale di R . Viceversa, le quattro R aventi per tangenziale R avranno le 

 proprie curve cuspidali sopra R stessa. 



Sia R' una di queste R aventi per tangenziale R , e g una generatrice di R la 

 quale sia una retta generica della congruenza; dunque una retta tangente alla super- 

 ficie focale della congruenza in due punti (i suoi fuochi) e che l'incontri ulteriormente 

 in 2p punti tutti distinti. 



Le quattro intersezioni di g con R', essendo fuochi delle generatrici di R' cui 

 rispett. appartengono (e non di g stesso), cadranno tutte fra questi ultimi 2p punti. 

 Ora, poiché la cubica di regresso t' di R/ sta sopra R , vi sarà fra quelle interse- 

 zioni un punto almeno (P') di questa cubica; e non ve ne sarà nemmeno più di 

 uno, perchè le generatrici g di R , tutte tangenti alla cubica Yo, non possono essere 

 in pari tempo corde di un'altra cubica f'. Nel punto P', che è doppio (e precisa- 

 mente cuspidale) per R', cadranno almeno due delle 4 intersezioni di g con R'; e si 

 vede facilmente che non ve ne potranno cadere nemmeno più di due. Infatti, se ve 

 ne cadessero tre, g dovrebbe stare nel piano osculatore a Y in P' stesso; e allora 

 questo piano, contenendo la generatrice g di R e la tangente in P' alla curva y' trac- 

 ciata sopra R , sarebbe lo stesso piano tangente a R lungo g, e perciò un piano 



