NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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osculatore a Yo5 sicché le cubiche To © t' avrebbero gli stessi piani osculatori, il che 

 non è possibile essendo esse distinte. Le rimanenti due intersezioni di g con R' sa- 

 ranno dunque punti semplici di R f , e punti di contatto di R' stessa colla superficie 

 focale. Esse saranno certo distinte, perchè se no nel punto in cui per avventura 

 coincidessero g risulterebbe tangente a R' e quindi alla superficie focale. Conclu- 

 diamo perciò che vi sono sopra g tre punti distinti appartenenti alla rigata (svilup- 

 pabile) R'. Ora R è tangenziale di quattro diverse rigate R, e con ciascuna di 

 queste g avrà tre intersezioni distinte; anzi tutte queste 3 . 4 = 12 intersezioni 

 saranno distinte fra loro, perchè due punti di diverse terne non potrebbero coinci- 

 dere che in punto singolare della congruenza (risultando questo comune già a tre R 

 non formanti fascio). Dovendo pertanto quei 12 punti distinti cadere fra le 2p inter- 

 sezioni semplici di g colla superficie focale, sarà 2/3 > 12, ossia p>%. Ma noi sap- 

 piamo che deve essere invece p < 5 (n° 43) ; è dunque escluso che le R possano 

 essere sviluppabili biquadratiche ( x ). 



Concludiamo pertanto : In ogni congruenza (3, n) priva di linea singolare e rife- 

 ribile a una rigata ellittica, alle generatrici di questa rigata devono corrispondere nella 

 congruenza rigate quadriche. 



§ 7. 



Congruenze (3, n) rappresentabili sopra una rigata ellittica. 



49. — Le considerazioni svolte nel § prec. permettono di determinare senza 

 difficoltà tutte le congruenze del 3° ordine prive di linea singolare e rappresentabili 

 sopra una rigata ellittica. 



Sappiamo intanto che una tale congruenza deve contenere una serie oo 1 ellittica 

 di rigate quadriche, inviluppanti la superficie focale ; e che le oo 1 quadriche sostegni 

 di queste rigate devono stare in una rete Z. Questa rete potrà anche avere infiniti 

 punti basi; ma certo le co 1 rigate della nostra congruenza non potranno avere a 

 comune nessuna direttrice (se no tutti i punti di questa sarebbero singolari per la 

 congruenza). Potranno invece avere a comune una o due generatrici. Di qui si trae 

 che la rete Z : 



o avrà soltanto un numero finito di punti basi (dunque otto punti basi, ma che 

 potrebbero non essere tutti distinti); 



oppure si comporrà delle quadriche passanti per una data retta (che sarà gene- 

 ratrice comune delle rigate da considerarsi) e per altri quattro punti fuori di questa 

 (eventualmente non tutti distinti); 



ovvero infine si comporrà di quadriche aventi a comune due rette dello stesso 

 sistema (e non altri punti fuori di queste). 



Esamineremo ora separatamente questi tre casi. I punti basi isolati (nei primi 

 due casi) si supporranno per semplicità tutti distinti; ma ciò che diremo potrebbe 

 estendersi senza difficoltà al caso di punti basi infinitamente vicini. 



(') Al momento di licenziare le bozze di questa Memoria mi accorgo che quest'ultimo ragiona- 

 mento si potrebbe modificare in guisa tale da rendere superfluo quello del n° 47 (facendo vedere 

 anzitutto che g non può avere a comune con R' più di due punti distinti, ed esaminando poi quante 

 loro intersezioni possono cadere in ciascuno di questi punti). 11 lettore se ne persuaderà facilmente. 



