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GINO FANO 



Essendo il genere numerico p n di una rigata ellittica eguale a — 1, le formolo 

 dei n' 34-35 diventano per questo caso : 



f= {n - p - l) (n Iz p ± 2 L + 1 _ r d= in- P -l){n+ P -A) _ 3 + 3t 



ù Ci 



R = 3|(^ + 1 )+2-3t-t'J. 



Possiamo anche osservare che, nel sistema 00 1 di rigate quadriche aventi per 

 luogo la nostra congruenza, ciascuna quadrica sarà tangenziale di altre 4 ; e le 

 2.4 = 8 intersezioni (tutte distinte) di una sua generatrice arbitraria con queste 4 

 saranno le sole intersezioni di quella generatrice colla superficie focale della con- 

 gruenza, all'infuori dei propri fuochi. Ora queste intersezioni devono essere in numero 

 di 2p; sarà perciò 2p = 8, ossia p = 4. 



Le congruenze (3, n) riferibili a una rigata ellittica sono tutte di genere sezionale 4. 

 Esse avi-anno perciò una superficie focale di 12° ordine e di classe 2 {n -\- 3), con 

 una curva cuspidale di ordine R = 36 — 9t — 3t'. (Sarà anzi sempre x' = 0, e quindi 

 R = 36 — 9t). 



I. 



50. — Consideriamo una rete T. di quadriche con otto punti basi (A x , A 2 , ... A 8 ). 

 Le generatrici di ambo i sistemi di queste quadriche formano, com'è noto, un com- 

 plesso cubico T, che i signori Sturm (*) e Reye ( 2 ) hanno incontrato in varie ricerche, 

 e che è stato poi oggetto di speciale studio da parte del signor Montesano, nella 

 Memoria: Su di un complesso di rette di 3° grado (Mem. Acc. di Bologna, ser. V, 

 t. Ili; 1893). Il cono del complesso uscente da un punto generico dello spazio è 

 quello che proietta la quartica base del fascio formato dalle quadriche di I che pas- 

 sano per questo punto. 



Questo complesso può rappresentarsi birazionalmente sullo spazio punteggiato, 

 e ci sarà anzi utile una delle rappresentazioni che ne ha date il signor Montesano 

 (Mem. cit., n° 11, p. 18 e seg.). Consideriamo uno dei punti basi della rete, p. e. A v 

 Un raggio generico u del complesso appartiene a una quadrica determinata della 

 rete; e sopra questa quadrica, la quale contiene il punto A lt sarà pure individuata 

 la generatrice v di sistema opposto a u passante per A 1 stesso. Il punto uv si assuma 

 allora come corrispondente al raggio u. Viceversa, dato nello spazio un punto gene- 

 rico P, vi sarà una ed una sola quadrica della rete che contiene la retta A L P, e 

 la seconda generatrice di questa quadrica passante per P sarà la retta corrispondente 

 a P nel complesso. 



La corrispondenza è dunque tale che due elementi omologhi qualunque si appar- 

 tengono. Si vede altresì che: A rette u di una stessa rigata quadrica corrispondono 

 punti di un raggio della stella A x (di quel raggio che è direttrice di questa rigata). 

 La rete X viene cosi riferita in corrispondenza razionale (1, 2) alla stella di raggi 

 Ai, e birazionalmente a un'involuzione I 2 di questa stella. In particolare agli oo 2 

 fasci di quadriche contenuti nella rete Z corrisponderanno nella stella A t i coni 



(') " Journ. de Creile „, Bd. 70; " Math. Ann. „, Bd. 6. 

 ( 2 ) Geometrie der Lage, 3 te Aufl., Bd. 3, p. 137. 



