NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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cubici proiettanti le quartiche basi di questi fasci, ossia gli co 2 coni cubici passanti 

 per i sette raggi A x A, = a u (i = 2, 3, ... 8). L'involuzione I 2 è definita appunto da 

 questa rete di coni. 



Ora, la congruenza (3, n) che noi andiamo cercando deve comporsi delle gene- 

 ratrici di un sistema oo 1 ellittico d'indice tre di quadriche, contenuto nella rete !.. 

 A un tale sistema di quadriche (che può concepirsi come una cubica piana, entro 

 la rete Z considerata come un piano) corrisponderà nella stella A x un cono di 9° ordine 

 appartenente all'involuzione I 2 , e avente come tripli i sette raggi (fondamentali) a u . 

 Questo stesso cono, come luogo di punti, sarà l'immagine della congruenza formata, 

 dalle generatrici di ambo i sistemi delle oo 1 quadriche considerate. 



Ma questa congruenza sarà di 6° ordine, poiché per ogni punto dello spazio 

 passano tre quadriche del sistema oo 1 , e due generatrici di ciascuna di queste. A 

 noi occorrerà pertanto un sistema oo 1 di quadriche | R | tale che, variando una qua- 

 drica entro di esso, i due sistemi di rette di questa quadrica descrivano due con- 

 gruenze distinte, ciascuna delle quali sarà allora di 3° ordine. E perchè questo 

 avvenga, è necessario e sufficiente che il cono di 9° ordine corrispondente al si- 

 stema | R | di quadriche nella stella A x si spezzi in due coni ellittici non appar- 

 tenenti all'involuzione I 2 (e perciò mutuamente coniugati in questa involuzione). 



Ora, questi due coni non potranno essere che uno di 3° ordine e uno di 6°, 

 oppure uno di 4° ordine e uno di 5°. Nel primo caso il cono cubico dovrà contenere 

 sei dei 7 raggi fondamentali a u (e non il settimo), e il cono di 6° ordine avrà quegli 

 stessi sei raggi come generatrici doppie e il settimo come generatrice tripla. Nel 

 secondo caso, il cono quartico conterrà come doppi due dei 7 raggi fondamentali e 

 passerà semplicemente per gli altri cinque, mentre il cono quintico avrà questi ultimi 

 per doppi e i primi come semplici. — Viceversa, ogni cono siffatto, insieme al suo 

 coniugato nell'involuzione I 2 , dà luogo a un cono (riducibile) di 9° ordine come a noi 

 occorre. E ciascuno di quei coni può scegliersi entro un numero finito (7, oppure 



Esistono dunque certo congruenze del 3° ordine contenute nel complesso cubico 

 delle generatrici di una rete generale di quadriche, e riferibili a una rigata ellittica. 

 E noi le abbiamo sostanzialmente già determinate tutte, perchè abbiamo detto quali 

 sono le superficie che ne sono immagini in una nota rappresentazione di quel 

 complesso cubico sullo spazio. Precisamente, in ogni complesso T sono contenuti 

 7 -f- 21 -(- 21 + 7 = 56 sistemi oo 3 di congruenze soddisfacenti alle condizioni ri- 

 chieste. Ma questi 56 sistemi si distribuiscono in 28 coppie, tali che due sistemi oc 3 di 

 una medesima coppia provengono dagli stessi oo 3 sistemi | R | di quadriche, e sol- 

 tanto da generatrici di opposte schiere di questi. Chiameremo per brevità coniugate 

 due congruenze costituite dalle generatrici di diverse schiere sopra un medesimo 

 sistema | R | di quadriche. E allora potremo dire che i 56 sistemi oo 3 di con- 

 gruenze di 3° ordine da noi trovati in V si distribuiscono in 28 coppie, tali che i due 

 sistemi oo 3 di ciascuna coppia si compongono di congruenze mutuamente coniugate. 



= 21) di sistemi lineari oo 3 . 



51. — Proponiamoci ora di studiare un po' più da vicino queste congruenze, 

 determinandone la classe, i punti singolari, ecc. 



