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GINO FANO 



Ricordiamo intanto che la rete Z di quadriche contiene un sistema oo 1 di coni, 

 d'indice quattro e di genere tre; e che la curva K (pure di genere tre) luogo dei 

 vertici di questi coni è di 6° ordine. 



Si riconosce facilmente (Montesano, Meni, cit., p. 19) che, nella rappresentazione 

 data del complesso cubico sullo spazio punteggiato, una superficie di ordine u la 

 quale abbia il punto A x come p pl °, le rette a u come multiple di ordine a„ e la 

 curva K come multipla di ordine k, è l'immagine di una congruenza (contenuta nel 

 complesso I") di ordine m = 4 (u — k) — p — Za, e di classe n = 3 (3u — Za, — 4k) 

 (dunque sempre multipla di 3). Ora le superficie immagini delle congruenze che cer- 

 chiamo sono tutte coni di vertice A x (onde p = \x), e non passano per la curva K 

 (onde k = 0). Sarà perciò : 



m = 3u — Za, n = 3 (3u — Za,) = Sm. 



E poiché già sappiamo che ni = 3, ne segue tosto n = 9 ; il che viene anche 

 confermato dalle formole scritte, in ogni singolo caso. 



Le congruenze di 3° ordine che così otteniamo sono tutte di classe 9. 



La linea cuspidale della superficie focale (di 12° ordine) dovrà avere la pro- 

 prietà che il fascio delle quadriche di Z passanti per un suo punto qualunque 

 incontri il sistema | R | secondo tre quadriche coincidenti; sia cioè, per così dire, 

 un fascio tangente d'inflessione del sistema | R | . Essa si comporrà dunque delle 

 quartiche basi dei nove fasci tangenti d'inflessione del sistema | R | ; e sarà perciò, 

 complessivamente, di 36° ordine. Ciò è d'accordo colla forinola del n° 49, dovendosi 

 porre in questa t = t' = 0. 



Questa congruenza non si è presentata nelle mie ricerche precedenti ; ma ne è 

 anche chiaro il motivo. Nel mio lavoro del 1894 io aveva infatti supposto, a pro- 

 posito delle congruenze di genere sezionale 4 (nota ( 2 ) a p. 20, e p. 21), che la curva 

 cuspidale della superficie focale non si spezzasse: le maggiori difficoltà allora incon- 

 trate mi avevano indotto a porre questa restrizione. E nel caso attuale, come si è 

 visto, la detta curva si spezza in 9 quartiche. Per la stessa ragione non mi si sono 

 presentate allora nemmeno le congruenze che incontreremo al n° 55. 



52. — I punti singolari della congruenza non potranno cadere che nei punti 

 comuni a tutte le quadriche del sistema | R | , ossia negli otto punti basi della rete Z; 

 e nei vertici di quei coni che appartengono al sistema | R | . Viceversa, questi punti 

 saranno anche tutti singolari per la congruenza. 



Quanto al cono singolare uscente dal punto A 1; è facile determinarlo in base 

 all'osservazione seguente : Considerate nel complesso T due congruenze (3, 9) coniu- 

 gate, quel cono di genere uno, che è immagine di una di queste nella rappresentazione 

 adottata del complesso cubico sopra S 3 , appartiene all'altra come cono singolare. Si 

 avrà dunque sempre un cono ellittico di ordine < 6. 



Siccome poi i punti A 2 , A 3 , ... A 8 si trovano tutti, rispetto alla rete Z, nelle 

 stesse condizioni di A x , cosi anche ciascuno di essi sarà vertice di un cono ellittico 

 di raggi della congruenza. E una volta noto il cono singolare A l5 si potranno deter- 

 minare gli altri 7, valendosi della proprietà (Montesano, Meni, cit., p. 6-7) che ogni 



