NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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rigata quadrica della rete Z contiene uno ed un solo raggio di ciascuna stella Aj ; 

 e che, assumendo come corrispondenti, in due determinate di queste stelle, i raggi 

 che appartengono a una stessa rigata, si viene a stabilire fra le due stelle una cor- 

 rispondenza cremoniana di 5° ordine con sei raggi fondamentali doppi: quelli che 

 proiettano i rimanenti 6 punti A { . I coni singolari uscenti da A 2 , ... si otterranno 

 dunque applicando al cono A x queste trasformazioni cremoniane. Ecco il risultato a 

 cui si giunge: 



Vi sono due diversi tipi di congruenze (3, 9) contenute nel complesso V e costituite 

 da un sistema oo 1 ellìttico di rigate quadriche. 



Per le congruenze del primo tipo, gli otto punti A, sono vertici rispett. di dite 

 coni singolari cubici (A x , A 2 ) e di sei coni di 5° ordine (A 3 , ... A 8 ). Queste congruenze 

 hanno 15 raggi doppi di 1 A specie, che sono precisamente le congiungenti a ik per 

 i, k = 3, 4, ... 8 ; il raggio a 12 non appartiene invece alla congruenza; le altre rette 

 a H , a ti ne sono raggi semplici. 



Le congruenze del secondo tipo contengono invece due coni sestici (Aj, A 2 ) e sei 

 coni quartici (A 3 , ... A 8 ). Esse hanno un raggio triplo (a 12 ) e 12 raggi doppi (",,, %) di 

 prima specie (che equivalgono insieme a 15 raggi doppi); le altre congiungenti a tk ne 

 sono raggi semplici. 



Due congruenze coniugate sono sempre di tipo diverso. 



Vediamo infine quanti coni quadrici contengano queste congruenze (ossia quanti 

 coni vi siano in un sistema | R | ). Nella nostra rappresentazione del complesso 

 cubico sullo spazio, a ogni generatrice di un cono contenuto nella rete Z corrisponde 

 il punto vertice di questo cono; e viceversa a questo punto corrisponde nel com- 

 plesso ogni generatrice di quel cono. Bisogna dunque cercare le intersezioni del cono 

 di vertice A 1 e di ordine v — 3, 4, 5, 6 che è immagine della nostra congruenza (3, 9) 

 colla curva K ,J luogo dei vertici dei coni quadrici contenuti nella rete Z, ovverosia 

 col cono che proietta questa curva da A x . 



Si trova allora che, delle 6v generatrici comuni ai due coni, sempre 6 (v — 1) 

 cadono nei raggi fondamentali a H . E di qui si conclude: La congruenza (3,9) con- 

 tiene sempre sei coni quadrici, appartenenti al sistema \ R | . E chiaro altresì che due 

 congruenze coniugate contengono gli stessi sei coni quadrici. Pel vertice di uno qua- 

 lunque di questi coni passa anche un raggio isolato della congruenza (appartenente 

 alla quadrica tangenziale di quel cono nel sistema | R | ). 



I 14 coni singolari verificano appunto le due relazioni generali dei n' 40 e 41, che 

 in questo caso diventano : 



dove le somme Z 3 vanno estese agli 8 coni ellittici, e le somme Zi ai sei coni 

 quadrici. 



53. — Considerata la rete Z di quadriche come un piano, e, per conseguenza, 

 il sistema oo 1 dei coni di questa rete come una quartica q (di genere tre), il sistema 

 delle singole schiere rigate contenute nelle quadriche di Z si potrà concepire a sua 

 volta come un piano doppio, di cui la quartica q sarebbe la curva limite (o di dira- 

 mazione). La ricerca del nostro sistema | R | di quadriche si riconduce allora a 



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