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GINO FANO 



quella di una cubica ellittica la quale, nel piano doppio, sia immagine di una coppia 

 di curve ellittiche (anziché di un'unica curva irriducibile, contenente un'involuzione 

 ellittica di coppie di punti). 



Per questo è condizione necessaria che la cubica sia tangente alla quartica q in 

 ogni sua intersezione con essa, dunque in sei punti (che saranno i coni quadrici del 

 sistema | R | ). Ma questa condizione, che sarebbe anche sufficiente se si trattasse 

 di una curva razionale, non lo è per una curva di genere > 0. 



La questione può tuttavia risolversi completamente, e in modo assai semplice, 

 considerando il piano doppio come proiezione di una superficie cubica da un suo 

 punto ; e il breve ragionamento che occorre cammina di pari passo col nostro 

 del n° 50. 



Dei 64 sistemi co 3 di cubiche tangenti in sei punti a una data quartica ( l ) 

 risulta pertanto che 28 hanno, rispetto al piano doppio con quella quartica come 

 curva limite, la proprietà dianzi accennata. Questi 28 sistemi sono precisamente 

 quelli per i quali i punti di contatto vengono segati sulla quartica dalle co 3 coniche 

 passanti per i punti di contatto di una bitangente ; sicché essi vengono a corrispon- 

 dere in certo qual modo alle 28 bitangenti della quartica. 



II. 



54. — Consideriamo ora una rete Z di quadriche aventi a comune una gene- 

 ratrice g e quattro punti A x , A 2 , A 3 , A 4 fuori di questa. Le generatrici di queste 

 quadriche di sistema opposto a g costituiranno allora il complesso lineare speciale 

 avente g stessa per direttrice (asse); questo complesso si staccherà perciò dal com- 

 plesso cubico formato da tutte le rette delle oo' 2 quadriche di Z, e resterà un com- 

 plesso quadratico l~, costituito da tutte le generatrici dello stesso sistema di g. 



D'altra parte in questo caso le quadriche di Z passanti per un punto generico P 

 hanno a comune, oltre alla retta g, una cubica passante per P e avente g come corda; 

 e le generatrici di queste quadriche del sistema di g e passanti per P hanno per 

 luogo il cono quadrico che da P stesso proietta quella cubica. 



Poiché in questo caso le generatrici dei due sistemi delle quadriche di Z for- 

 mano due complessi distinti, noi possiamo affermare sin d'ora che, prendendo entro Z 

 un qualsiasi sistema oo 1 di quadriche d'indice 3 e ellittico, e considerando sopra 

 queste quadriche le generatrici del sistema di g, otterremo una congruenza di 

 3° ordine soddisfacente alle condizioni imposte. Conviene però esaminare più da 

 vicino la natura del complesso I", per potere poi costruire quelle congruenze nel modo 

 più semplice. 



(') Cfr. ad es. Clebsch-Lindemann : Vorlesungen tiber Geometrie, I, p. 853. La determinazione di 

 questi sistemi di cubiche 6-tangenti alla quartica risale però a Hesse e Steiner, * Journ. de Creile , 49. 

 Osserviamo anche che da un noto teorema di Hesse (1. c.) — il quale soltanto più tardi fu dimo- 

 strato rigorosamente — , che cioè l'equazione di ogni quartica piana può mettersi sotto forma di 

 un determinante simmetrico di 4° ordine ad elementi lineari nelle coordinate eguagliato a zero, 

 segue che la quartica costituita dai coni di una rete generica di quadriche è una quartica affatto 

 generale. 



