NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 51 



Una retta generica passante per uno dei punti A, appartiene certo a una qua- 

 drica della rete X; e essendo sghemba con g, sarà generatrice dello stesso sistema 

 di questa, e apparterrà perciò al complesso quadratico l~. Questo complesso contiene 

 dunque per intero le quattro stelle di rette A„ e sarà perciò un complesso tetra- 

 edrale, avente ÀÌÀ2A3A4 come tetraedro fondamentale; sarà anzi quel complesso, com- 

 pletamente determinato, che ha questo tetraedro fondamentale, e contiene il raggio g. 



Ora un complesso tetraedrale può rappresentarsi sullo spazio di piani in guisa 

 tale che ogni raggio del complesso appartenga al piano omologo, e sia precisamente 

 intersezione di questo col piano che ad esso corrisponde in una determinata colli- 

 neazione In questa rappresentazione a ogni congruenza di ordine m contenuta nel 

 complesso tetraedrale corrisponde un inviluppo oc 2 di piani di classe m; e quella 

 congruenza potrà quindi ottenersi come luogo delle intersezioni delle coppie di piani 

 corrispondenti di due inviluppi di piani di classe m, fra loro collineari. Viceversa, 

 due inviluppi di piani siffatti generano anche sempre una congruenza di ordine m, 

 contenuta in un complesso tetraedrale; e la classe di questa congruenza è in gene- 

 rale 3»?. Ma se uno dei piani uniti della collineazione — che sono poi i piani fonda- 

 mentali del complesso tetraedrale — appartiene a uno e quindi anche all'altro dei 

 due inviluppi con una certa multiplicità k, il piano stesso (come piano rigato) si 

 staccherà dalla congruenza con eguale multiplicità, e la classe di questa si ridurrà 

 perciò a 3m — k. 



Più generalmente, se i quattro piani uniti appartengono ai due inviluppi collineari 

 rispett. colle multiplicità k u k 2 , k 3 , A- 4 (> 0), la congruenza generata da questi invi- 

 luppi sarà di ordine m, e di classe: 



n = 3m — (&x + k 2 + k 3 -j- & 4 ) ; 



e sussisteranno altresì le proprietà seguenti : 



I quattro piani del tetraedro fondamentale saranno piani singolari della con- 

 gruenza, e conterranno inviluppi di rette di questa delle classi rispett. k u k 2 , k 3 , fc 4 

 (supposti questi numeri > 0) ; 



I vertici dello stesso tetraedro rispett. opposti a quei piani saranno punti sin- 

 golari della congruenza, vertici di coni degli ordini rispett. 2m — (k 2 + k s + k±) , 

 2m — (kx + k 3 -f- ki) , semprechè, ben inteso, anche tali numeri siano >0 ; 



Lo spigolo del tetraedro fondamentale intersezione dei due piani multipli di 

 ordini k t e k 2 sarà raggio multiplo della congruenza di ordine m — (kx -f~ ^'2) (sup- 

 posto > 0) ; e analogamente per gli altri cinque spigoli. 



Da queste proprietà generali si dedurranno facilmente quelle delle congruenze 

 (3,») che andiamo cercando. 



55. — Una congruenza di 3° ordine (come a noi occorre) contenuta in un com- 

 plesso tetraedrale si potrà dunque generare con due inviluppi di piani di 3 a classe, 



(') Notissima rappresentazione del complesso tetraedrale, esposta in lavori di Weiler, " Zeitschr. 

 f. Math. u. Ph. „, 22; Loria, " Atti della R. Acc. di Torino voi. XIX, dove si vedranno anche 

 citati lavori anteriori di Klein e Lie; nella 2* e 3 a ediz. della Geometrie der Lage del Rete, e nel- 

 l'opera più volte cit. di Sturm (I, pp. 342, 369-71). 



