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GINO FANO 



fra loro collineari. Solo che, per avere una congruenza non razionale, ma riferibile 

 invece a una rigata ellittica, si dovranno prendere due inviluppi costituiti dai piani 

 tangenti di due curve piane generali di 3 a classe y e y\ Viceversa, due inviluppi 

 siffatti, tra loro collineari, genereranno sempre una congruenza di 3° ordine, rappre- 

 sentabile sopra una rigata ellittica, e le coppie di tangenti omologhe delle due 

 curve y e y' saranno assi di fasci di piani contenuti rispett. nei due inviluppi e fra 

 loro proiettivi, i quali genereranno le oo 1 rigate quadriche che già sappiamo (§ 6) 

 dover essere contenute nella congruenza. Queste rigate avranno anche tutte una 

 generatrice a comune: l'intersezione dei piani delle curve y e y'. 



La congruenza così ottenuta sarà in generale di classe 9; avrà gli spigoli del 

 tetraedro fondamentale della collineazione come raggi tripli (di prima specie); e da 

 ciascun vertice di questo tetraedro escirà un cono di 6° ordine e genere uno di raggi 

 della congruenza, coi tre spigoli del tetraedro come raggi tripli. La classe della con- 

 gruenza può scendere tuttavia fino a cinque, prendendo i due inviluppi generatori in 

 modo che contengano uno o più dei quattro piani uniti della collineazione; ma nes- 

 suno di questi piani può essere piano multiplo dei due inviluppi. In ogni caso dai 

 vertici del tetraedro fondamentale escono altrettanti coni ellittici della congruenza. 

 E questa è sempre di genere sezionale 4 (n° 49). Non ci fermiamo a esaminare sepa- 

 ratamente i vari casi, anche perchè incontreremo più avanti (§ 12) le congruenze 

 analoghe razionali, generate da inviluppi di 3 a classe non degeneri. 



Poiché i piani delle due curve y e y' sono tripli per i due inviluppi generatori 

 della congruenza, così si conclude facilmente che il raggio u loro intersezione è un 

 raggio triplo della congruenza. E questo è precisamente un raggio triplo di 2 a specie. 

 Per ogni punto di « i tre raggi della congruenza che ne escono si possono pensare 

 disposti secondo tre generatrici consecutive del cono del complesso tetraedrale T 

 uscente da questo punto; e ogni piano per u godrà della proprietà duale. La 

 proiettività determinata dal complesso P fra la punteggiata u e il fascio di piani u 

 (nella quale a ogni punto di u corrisponde il piano tangente lungo u al cono del 

 complesso uscente da quel punto) è precisamente quella da noi considerata in generale 

 al n° 14. 



Le coppie di tangenti omologhe delle due curve t e y' determinano sopra u una 

 corrispondenza (3, 3), la quale avrà sei punti uniti. Nel caso più generale di una 

 congruenza (3, 9), ciascuno di questi sei punti sarà vertice di un cono quadrico di rette 

 della congruenza, il quale conterrà il raggio u e apparterrà al sistema co 1 | R | di 

 rigate quadriche. E questi saranno anche i soli coni contenuti nel sistema | R | di 

 quadriche. Questi sei coni formeranno insieme la rigata R n+3 — R 12 delle rette della 

 congruenza che si appoggiano ad u. 



Se però uno o più piani uniti della collineazione sono comuni ai due inviluppi 

 generatori della congruenza, nelle intersezioni di questi piani con u cadranno altret- 

 tanti punti uniti della corrispondenza (3, 3) dianzi considerata, e quindi altrettanti 

 dei sei punti singolari della congruenza posti sopra u. Da ciascuno di questi punti 

 escirà allora soltanto un fascio di rette della congruenza (contenente il raggio u). 



La retta u è sestupla per la superficie focale (di 12° ordine) ; ciò segue da quanto 

 si è detto al n° 15, e si può anche riconoscere direttamente. 



Essa può considerarsi altresì come facente parte della curva cuspidale della 



