NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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superficie focale. All'infuori di essa vi è una curva cuspidale di 27° ordine, com- 

 posta delle 9 cubiche che, insieme ad u, formano le curve basi dei 9 fasci di quadriche 

 tangenti d'inflessione al sistema | R | . 



III. 



56. — Consideriamo infine una rete Z di quadriche aventi a comune due gene- 

 ratrici u, u' dello stesso sistema (e non altri punti). Le quadriche di questa rete che 

 passano per un punto generico P formano un fascio, la cui curva base si compone 

 di quattro rette ; le generatrici u e u', la retta v condotta per P a incontrare le due 

 precedenti, e un'altra secante comune delle u, u', e sia v ', completamente determi- 

 nata dalla v, e variabile con essa. Le generatrici di queste quadriche che passano 

 per P e appartengono al sistema di u, u' , stanno dunque tutte nel piano Pv', e for- 

 mano perciò un fascio; dal che si trae che il complesso di tutte le generatrici del 

 detto sistema sopra le oo 2 quadriche di Z è un complesso lineare (non speciale). 



D'altronde, dal complesso cubico formato da tutte le rette appartenenti a una 

 di queste quadriche si staccano nel caso attuale i due complessi lineari speciali di 

 assi u e ti' (solo che la quadrica di Z contenente una retta generica appoggiata ad 

 n o n' è una coppia di piani ) : e rimarrà perciò un complesso lineare, contenente tutte 

 quelle rette che sono sghembe con u e u . 



Anche in questo caso (come al n° 54), prendendo nella rete Z un qualsiasi 

 sistema co 1 di quadriche d'indice tre e ellittico, le generatrici di queste quadriche 

 dello stesso sistema di n, u' formeranno una congruenza di 3° ordine rappresentabile 

 sopra una rigata ellittica. Ma questa congruenza sarà contenuta in un complesso 

 lineare non speciale; e sarà perciò una congruenza (3, 3), caso particolare di quella 

 incontrata al n° 20. 



La superficie F 6 (di S 4 ) immagine di questa congruenza conterrà un sistema oo 1 

 ellittico di coniche, aventi a comune due punti; gli oo 1 piani di queste coniche for- 

 meranno perciò un cono cubico ellittico (di 2 a specie). Diremo dunque: 



La congruenza (3, 3) contenuta in un complesso lineare non speciale diventa 

 riferibile a una rigata ellittica quando la superficie F 6 di S 4 che ne è immagine può 

 segarsi dalla M3 immagine del complesso lineare con un cono cubico ellittico di 2* specie. 



Le rette u e u', a cui corrispondono sulla F tì le due intersezioni della MJ colla 

 retta asse del cono cubico, sono raggi tripli di 2 a specie della congruenza, come il 

 raggio u nel caso precedente. 



La superficie focale di questa congruenza (di 12° ordine e 12 a classe) è una 

 rigata, avente u e u' come direttrici (sestuple): essa è infatti l'inviluppo di oo 1 qua- 

 driche della rete Z, e sappiamo che due qualunque di queste (in particolare due 

 consecutive) hanno come intersezione variabile una coppia di rette appoggiate 

 a u e u' . La stessa rigata ha 18 generatrici cuspidali, che costituiscono, a coppie e 

 insieme con u e «', le curve basi dei 9 fàsci tangenti d'inflessione al solito sistema 00 1 

 di quadriche. 



La forinola dell'ordine della curva cuspidale (n° 48) non è applicabile in questo 

 caso, essendo stata stabilita in base alla considerazione del carattere t, che non 



