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GINO FANO 



ha senso per congruenze contenute in un complesso lineare: essa dà però egual- 

 mente R =3 18. 



Nella rete I ogni cono è spezzato in una coppia di piani ; e le co 1 coppie di 

 piani formano un sistema d'indice due. Il nostro sistema co 1 di quadriche conterrà 

 dunque 6 coppie di piani, e perciò la congruenza (3, 3) conterrà 12 fasci di rette. Di 

 questi fasci, sei conterranno il raggio u, e gli altri sei conterranno il raggio u': 

 quelli e questi avranno, a coppie, un raggio a comune. Le rigate R n+3 = R 6 formate 

 dalle rette della congruenza che si appoggiano a u o u' si comporranno rispett. di 

 quelle due sestuple di fasci. 



§ 8. 



Congruenze razionali. Congruenze di genere sezionale zero. 



57. — Per le congruenze razionali, essendo p n = 0, le formole dei n' 34-35 

 diventano : 



t _ (w— p — l)(w— p+2) t ^ _ (n— p — l){n-\-p — 4) _j_ ^ 



K = 3 |(*+>) +1 -3T-T<j. 



Osserviamo in particolare che d non può essere nullo se non quando sia, oltre 

 che t = 0, anche p = n — 1, oppure n -\- p — 4 = 0. E quest'ultima relazione, se 

 n>p (n° 21), è soddisfatta soltanto per n = S, p=l( 1 ). Possiamo dunque concludere 

 (tenuto conto anche dei risultati precedenti) : 



Le sole congruenze di 3° ordine prive di raggi multipli di prima specie sono: 

 la congruenza (3, 3) contenuta in un complesso lineare; 

 le congruenze (3, n) di genere sezionale p = n — 1 (n < 7) ; 

 la congruenza (3, 3) di genere sezionale uno. 

 Per quest'ultima, che è una congruenza nota, si sa che è t = e perciò 

 anche d — 0. 



D'altronde, poiché un punto triplo non apparente della superficie F" +3 produce 

 un abbassamento di tre unità nel genere delle sezioni iperpiane che lo contengono, 

 così per p < 3 sarà certo t = 0. E lo stesso avverrà per p = S, perchè dei sistemi 

 lineari oo 5 semplici di curve piane di genere 3 (di cui sono noti tutti i tipi) nessuno 

 contiene un sistema lineare oo 4 irriducibile di curve razionali. Per tutti questi casi 

 (e sempre quando sia t = 0) sarà precisamente: 



- (w — p — !)(»— p + 2 ) , (n — p— l)(w+p — 4) 



1 ~ 2 a — 2 



E se è pure t' =0, sarà : 



R = 3j(0j-)+lj 



vale a dire l'ordine della curva cuspidale della superficie focale dipenderà (al pari 



(') Poiché per m=4, p = non si troverebbero che congruenze composte di oo 1 fasci di rette, 

 e aventi perciò infiniti punti singolari. 



