NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 55 



dell'ordine di questa superficie) soltanto dal genere sezionale della congruenza, e non 

 dalla sua classe. 



58. — Congruenze di genere sezionale zero. — Le sole congruenze di rette di 

 genere sezionale zero e non composte di un sistema oo 1 di fasci di rette sono (*) : 



1° La congruenza (1, 3) delle corde di una cubica sghemba; 

 2° La congruenza (3, 1) duale della precedente; 



3° Una congruenza (2, 2) con un fascio di rette doppie, che è una partico- 

 lare intersezione di un complesso lineare speciale con un complesso quadratico. 



Di queste, soltanto la seconda è di 3° ordine, ed è priva altresì di linea sin- 

 golare (anzi non ha alcun punto singolare). Vi è dunque una sola congruenza del 

 3° ordine priva di linea singolare e di genere sezionale zero; e questa è la congruenza 

 duale di quella delle corde di una cubica sghemba, ossia la congruenza cremoniaiia 

 (3, 1) generata da due piani collineari in posizione generale. Questa congruenza ha oo 1 

 piani singolari, contenenti ciascuno un inviluppo quadrico di rette (n° 1). Due qua- 

 lunque di questi piani sono incontrati dalle rette della congruenza in coppie di punti 

 corrispondenti di una determinata collineazione ; e tutti sono osculatori a una me- 

 desima cubica sghemba t. 



La superficie focale di questa congruenza sarebbe, secondo le forinole generali, 

 di ordine quattro e classe zero, con una cubica cuspidale. Essa è infatti la svilup- 

 pabile circoscritta alla cubica t; ed ha per piani tangenti gli stessi oo 1 piani singolari. 



§ 9. 



Congruenze di genere sezionale uno. 



59. — Le congruenze (3, n) di genere sezionale p = 1 saranno rappresentate 

 nello spazio S 3 da superficie razionali F" +3 a sezioni ellittiche. Ora è noto che le 

 superficie razionali a sezioni ellittiche sono tutte di ordine non superiore a nove ( 2 ); 

 sarà perciò n -\- 3 < 9, ossia n < 6. 



Le congruenze (3, n) prive di linea singolare e di genere sezionale uno sono tutte 

 di classe < 6. 



È noto ( 3 ) che queste congruenze esistono anche effettivamente, per ciascuna 

 delle classi n = 2, 3, 4, 5, 6; e che per n = 5 ve ne sono due tipi affatto distinti, 

 corrispondenti alle due diverse specie di superficie razionali F 8 a sezioni ellittiche 



Queste congruenze avranno, secondo le nostre forinole generali, una superficie 

 focale di 6° ordine e di classe 2n, con curva cuspidale pure di 6° ordine. 



Esse non potranno contenere coni ellittici, e nemmeno coni razionali dai cui ver- 

 tici non escano raggi isolati della congruenza, perchè se no la rigata (riducibile) 



(*) Cfr. ad es. la mia Mera. cit. degli Annali di Matem., n° 3. 



( 3 ) Dei. Pezzo, Sulle superficie dell' n" ordine immerse nello spazio di n dimensioni, " Rend. di Pa- 

 lermo „, t. L 



( 3 ) Cfr. i lavori dei sig.™ Segre e Castelnuovo citati nell'Introduzione, nonché la mia Memoria 

 degli " Annali di Matem. „. 



( 4 ) Del Pezzo, 1. c. 



