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GINO FANO 



formata dalle rette della congruenza che si appoggiano a una retta generica pas- 

 sante pel vertice di un tal cono sarebbe di genere > 2 (cfr. n° 8). 



I coni singolari di queste congruenze saranno dunque tutti razionali ; i loro vertici 

 saranno punti doppi della superfìcie focale, e per questi passerà sempre anche un raggio 

 isolato della congruenza. 



Le due forinole generali dei n' 40 e 41, essendo nulle in questo caso le somme Z 3 , 

 diventano : 



lf ^ = (n-2Kn + 3) ZA==2 (» + 8) 



essendo in entrambe estesa la somma Z a tutti i coni singolari della congruenza. 



La congruenza avrà inoltre d = — — ~ ^ raggi doppi di prima specie, cia- 

 scuno dei quali dovrà appartenere ad almeno un cono singolare (n° 17). 



60. — Nel caso estremo n = 6 vi sono dunque sei raggi doppi, quindi almeno 

 altrettanti coni singolari di ordine > 3. Ora le due somme Z ( h ) e Th, per n = 6, 



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valgono entrambe 18, e risultano perciò già esaurite da sei coni cubici ; concludiamo 

 dunque che i sei coni a cui appartengono rispett. i raggi doppi sono precisamente 

 di 3° ordine, e sono anche i soli coni della congruenza. 



D'altronde è anche noto che sopra una F 9 razionale a sezioni ellittiche l'ordine 

 di ogni curva è multiplo di tre; e la nostra congruenza, di classe 6, non può certo 

 contenere coni di ordine > 6. 



Ogni congruenza (3, 6) di genere sezionale uno contiene dunque sei coni cubici ra- 

 zionali, le cui generatrici doppie sono altresì raggi doppi della congruenza. Ciascuno 

 di questi coni contiene i vertici degli altri cinque; e all'infuori di questi non vi sono 

 altri coni singolari. 



61. — Esclusa la congruenza (3, 6), per tutte le altre la superficie immagine F" +3 

 conterrà almeno un fascio di coniche; e i piani di queste coniche formeranno (per 

 ciascun fascio) una M3 +1 , normale (al pari della F n+3 ) per uno spazio S B+3 . Da questa 

 M^ 1 " 1 (che non è certo contenuta nella M\ fondamentale, poiché se no la congruenza 

 si comporrebbe di oo 1 coni o inviluppi quadrici di rette) la F n+3 potrà segarsi con 

 una quadrica non degenere (la M* fondamentale); e l'intersezione residua di queste 

 due varietà si comporrà di 2 (n -f- 1) — (n -j- 3) = n — 1 piani. Di questi n — 1 

 piani, sulla M* fondamentale, n — 2 dovranno appartenere a un medesimo sistema 

 (punti) e il rimanente al sistema opposto (piani) ; perchè così degli n -\- 1 punti che 

 un piano generico del primo o secondo sistema della ha comuni colla M'l +1 ne 

 resteranno appunto rispett. 3 e n sulla F" +3 . 



Di qui si conclude : All'infuori della (3, 6), tutte le altre congruenze (3, n) di ge- 

 nere sezionale uno contengono almeno una serie razionale oo 1 di rigate quadriche (invi- 

 luppanti la superficie focale), tale che ogni retta della congruenza appartiene a una ed 

 una sola di queste rigate. Ciascuna di queste serie oo 1 contiene in particolare n — 2 

 coni quadrici e un inviluppo piano di 2* classe; nonché 5 — n rigate spezzate in coppie 

 di fasci di raggi (corrispondentemente a un egual numero di coniche spezzate in 

 coppie di rette). 



