NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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62. — La superficie F 8 di seconda specie contiene in generale (*) due fasci di 

 coniche. La corrispondente congruenza (3, 5) — che potremo anche chiamare " di 

 seconda specie „ — conterrà perciò 6 coni quadrici, due inviluppi piani di 2 & classe, e 



nessun fascio di rette. Per esaurire le due somme I | 2 j e Y.h (eguali rispett. a 12 



e 16), si vede immediatamente che non resta possibile altra ipotesi che quella di un 

 cono quartico, al quale dovranno appartenere i tre raggi doppi di prima specie che 

 spettano appunto alla congruenza. 



La congruenza (3, 5) di seconda specie ha dunque 7 punti singolari, vertici rispett. 

 di un cono quartico razionale e di sei coni quadrici; e due piani singolari, contenenti 

 inviluppi quadrici di rette della congruenza. 



63. — Tutte le altre F" +3 razionali a sezioni ellittiche contengono in generale, 

 per n > 3, 6 — n fasci di coniche; la F 5 ne contiene invece cinque. In ogni caso 

 dunque (anche per n = 2) la congruenza corrispondente (3, n) conterrà (n — 2) (6 — n) 

 coni quadrici ; e il numero complessivo dei fasci di rette sarà quello delle rette con- 

 tenute nella F n+3 , ossia | 7 2 n \ . 



Quanto ai raggi doppi di prima specie, per n — 2 e n = 3 non ve ne sono af- 

 fatto ; e per n = 4 ve n'è uno solo, il quale apparterrà perciò a un cono cubico 

 razionale. Infine per n = 5 vi saranno tre raggi doppi; e si vede anche facilmente 

 che questi apparterranno rispett. a tre diversi coni cubici. 



Vi sono dunque in ogni caso | w 2 2 j coni cubici razionali. Ed essendo verificate 



le due identità: 



v/M=/ owe ^ i o/« — 2\__(» — 2)(» + 3) 



( W _2)(6- W ) + 3( W 7 2 )=^ 



0^( 7 7 w )+2(«-2)(6-n) + 3( w - 2 )=2(n + 3) 



corrispondenti alle relazioni dei n 1 40 e 41, si conclude che non vi saranno altri 

 punti (o coni) singolari. 



Dunque : Le congruenze (3, n) di genere sezionale uno — esclusa soltanto la (3, 5) 



di seconda specie — contengono in generale ( 7 2 n J fasci di rette, (n — 2) (6 — n) coni 



quadrici, e | n 3 2 j coni cubici razionali. I raggi doppi di questi ultimi sono tali anche 



per la congruenza. I vertici di questi coni sono tutti punti doppi per la superficie 

 focale; il loro numero complessivo è: 



( 7 7 M ) + («-2)(6- W ) + ( n 7 2 ) = 12-n. 



Questo stesso numero di punti singolari ha anche la congruenza (3, 5) di seconda 

 specie (poiché ne ha 7, ed è n = 5). 



(') Del Pezzo, 1. c. Diciamo " in generale , perchè i due fasci potrebbero anche coincidere, 

 analoghe avvertenze si tengano per fatte in seguito. 



Serie II. Tom. LI. h 



