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GINO FANO 



64. — Congruenze (3, n) del tipo delle precedenti furono ottenute dai Signori 

 Segre (*) e Castelnuovo ( 8 ) come proiezioni di sistemi di rette contenuti in varietà 

 cubiche dello spazio S 4 con un numero finito e > 6 di punti doppi (generabili con tre 

 reti proiettive di spazi S 3 ). Si può domandare ora se le congruenze (3, n) così ottenute 

 siano le più generali fra quelle di genere sezionale uno. — A questa domanda po- 

 tremo rispondere affermativamente quando ci saremo assicurati che la superficie 

 focale (di 6° ordine) di una congruenza (3, n) generale di genere sezionale uno può 

 ottenersi come contorno apparente di una di quelle di S 4 ; e per questo è suffi- 

 ciente ( 3 ) far vedere che la sestica cuspidale della stessa superficie focale è interse- 

 zione di una quadrica e di una superficie cubica, ha cioè il genere 4, ovvero (il che 

 fa lo stesso) ha 6 punti doppi apparenti. 



Ora la superficie focale di una qualunque delle congruenze (3, n) da noi incon- 

 trate in questo § è di 6° ordine, e non ha in generale altre singolarità all'infuori 

 delle seguenti: 



Una curva cuspidale di 6° ordine, completamente priva di punti singolari, e 

 i cui punti doppi apparenti supporremo in numero di h; 



i 12 — n punti singolari della congruenza, che sono punti doppi conici di essa, 

 e non appartengono alla curva cuspidale. 



Ciascuno di questi ultimi punti produrrà nella classe della superficie un abbas- 

 samento di due unità. — Quanto alla curva cuspidale, è noto ( 4 ) che, per una su- 

 perficie di ordine u, la presenza di una curva cuspidale di ordine R con h punti 

 doppi apparenti (e senza punti singolari) fa discendere la classe di: 



12uR — 9R 2 — 15R + 18* 



unità. Nel nostro caso sarà dunque: 



6.5* — ) 12. 6. 6 — 9. 6 2 — 15. 6 + 18/t ( — 2 (12 — n) = 2n 



da cui : 



18* = 108 ossia h 6. 



Le congruenze di Segre-Castelnuovo sono dunque le più generali congruenze 

 (3, n) di genere sezionale uno. 



Rimandiamo alle Memorie cit. di questi egregi geometri per uno studio più par- 

 ticolareggiato delle varie congruenze; delle configurazioni formate dai loro punti e 

 piani singolari; del numero delle congruenze che hanno la stessa superficie focale, 

 e quindi gli stessi punti e piani singolari ; ecc. 



(*) " Mem. della R. Acc. di Torino „ a. 2», t. 39, 1888. 

 O " Atti del R. Ist. Veneto „ , s. 6", t. 5 e 6. 

 (') Segre, 1. e, n° 1, 3. 



( 4 ) Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie des Raumes (3 t8 Aufl.), II, p. 658. 



