NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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§ io. 



Congruenze (3, n) di genere sezionale due. 



65. — Una congruenza (3, n) di genere sezionale due avrà per immagine in S 6 

 una superficie razionale F n+3 a sezioni di genere due. Ora è noto ( x ) che una tal su- 

 perficie è sempre di ordine <12; sarà dunque n<9, vale a dire: 



Le congruenze (3, n) prive di linea singolare e di genere sezionale due sono tutte 

 di classe < 9. 



Queste congruenze avranno una superficie focale di 8° ordine e di classe 2 (n -f- 1), 

 con curva cuspidale (in generale) di 12° ordine. Al pari delle congruenze di genere 

 sezionale uno, esse non potranno contenere coni ellittici ; ma potranno contenere dei 

 coni razionali dai cui vertici non escano raggi isolati della congruenza. 



Le due relazioni dei n' 40 e 41 diventano in questo caso : 



estese entrambe le somme a quei coni singolari, dai cui vertici esce anche un raggio 

 isolato della congruenza. 



La superficie F" M immagine della congruenza deve contenere un (unico) fascio 

 di coniche; e i piani di queste coniche formeranno una M", normale, al pari della 

 F n+3 , per uno spazio S^. Da questa M" la F"" f3 potrà segarsi con una quadrica (la 

 M| fondamentale); e l'intersezione residua di queste due varietà sarà costituita da 

 2n — (n -{- 3) = 11 — 3 piani, che dovranno appartenere sulla tutti a uno stesso 

 sistema (il sistema dei punti). Siccome poi nel fascio di coniche sulla F" +3 sono con- 

 tenute (in generale) 9 — n coppie di rette ( 2 ), cosi concludiamo: 



Ogni congruenza (3, n) di genere sezionale due contiene un (unico) sistema razio- 

 nale oo 1 di rigate quadriche (inviluppanti la superficie focale), tale che ogni retta della 

 congruenza appartiene a una e una sola di quelle rigate. In questo sistema 00 1 sono 

 contenuti n — 3 coni quadrici, e altre 9 — n rigate si spezzano in due fasci di rette. 

 La congruenza contiene perciò n — 3 coni quadrici e 18 — 2n fasci di rette. 



Dai vertici di questi coni e dai centri di questi fasci esce sempre anche un 

 raggio isolato della congruenza. Infatti la rigata R" +3 delle rette della congruenza 

 che si appoggiano a una retta generica uscente dal vertice di uno di quei coni qua- 

 drici ha a comune due generatrici con ogni rigata quadrica del sistema 00 1 consi- 

 derato; avrà dunque a comune anche con quel cono due (e non tre) generatrici. Un 

 ragionamento analogo può farsi pei fasci di raggi. 



Questi n — 3 coni quadrici e i 18 — 2n fasci di rette rendono già le due somme 

 contenute nelle relazioni (1) eguali ai corrispondenti secondi membri; e non vi saranno 

 perciò altri punti singolari i quali siano doppi per la superficie focale. 



(') Segre, Sui sistemi lineari di curve piane algebriche di genere p, " Rend. di Palermo „, t. I; 

 Castelnuovo, Sulle superficie algebriche le cui sezioni piane sono curve iperellittiche (ibid., t. IV). 

 (') Castelnuovo, 1. e, n° 5. 



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