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GINO FANO 



Si può anzi affermare che in generale, una congruenza (3, n) di genere sezionale 

 due non contiene altri punti singolari all' infuori dei (18 — 2w) -f- (n — 3) = 15 — n 

 già incontrati. Così avviene infatti, per n = 3, della congruenza di Roccella t 1 ), generata 

 da tre fasci proiettivi di complessi lineari in posizione generale, la quale contiene 

 soltanto 12 fasci di rette ; e anche per n > 3 avremo agio di persuadercene fra 



poco (n° 67). È vero che, per n > 3, la congruenza deve contenere ("^ 2 ] raggi 



doppi di l a specie (n° 57) ; però questi possono non appartenere ad alcun punto sin- 

 golare, ed essere ad es. tangenti alla superficie focale in 4 punti diversi. 



66. — Di congruenze (3, n) di genere sezionale due si possono avere per cia- 

 scuna classe n> 3 e < 9 diversi tipi, corrispondentemente alle diverse superficie a se- 

 zioni di genere 2 di ogni singolo ordine < 12. — E noto che queste superficie possono 

 distinguersi a seconda delle loro direttrici minime ( 2 ) ; e che come direttrice minima 

 esse hanno una conica, ovvero una retta, o anche un punto (o un numero finito > 1 

 di tali enti), tranne che nel caso estremo n = 9, nel qual caso la superficie F n+3 , che 

 è di 12° ordine, può anche avere come direttrici minime un fascio di cubiche. 



Se le oo 1 coniche della superficie F" +3 hanno uno o due punti a comune (di più 

 non possono averne), questi punti saranno tripli per la superfìcie, e ad essi corri- 

 sponderanno perciò raggi tripli (di 2 a specie) della congruenza. Quei punti saranno 

 però punti tripli propri apparenti ; proiettando la superficie F"' r3 in S 3 essi si proiet- 

 teranno in punti (della curva doppia) che non impongono condizioni ulterioni alle 

 superficie aggiunte. Nelle forinole del n° 57 sarà dunque da porsi t' = 1 o 2 (e t = 0). 



Se vi è una direttrice rettilinea, a questa corrisponderà nella congruenza un 

 ulteriore fascio di rette, il cui centro sarà punto comune a tutte le quadriche so- 

 stegni delle oo 1 rigate, e apparterrà perciò, non solo alla superficie focale da esse 

 inviluppata, ma anche alla curva cuspidale di questa. 



67. — Mostriamo ora come si possano ottenere congruenze (3, n) di genere 

 sezionale due e delle varie classi, le quali non abbiano altri punti singolari oltre 

 quelli considerati al n° 65. 



In un sistema lineare oo 3 di quadriche affatto generale — quindi privo di punti 

 basi — si prenda un sistema oo 1 razionale d'indice 3 non contenuto in una rete. Esso 

 potrà rappresentarsi con un'equazione del tipo: 



(1) a t 3 + 3«i t 2 + 3a 2 t + a 3 = 



nella quale i è un parametro, e le ai sono forme quadratiche nelle coordinate proiet- 

 tive di punto. Queste oo 1 quadriche inviluppano la superficie di 8° ordine: 



(2) 4 (a a 2 — «i 2 ) (a x a s — a 2 2 ) — (a Q a 3 — a^ a 2 ) 2 = 



(') Sugli enti geometrici dello spazio di rette... (Piazza Armerina, 1882). 



( 3 ) Cabtelndovo, 1. e, n' 6-8. Queste direttrici sono curve incontranti in un solo punto variabile 

 le coniche del fascio contenuto nella superficie. 



