NUOVE RICEBCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



(il 



colla curva cuspidale di 12° ordine: 



«o «1 « 2 

 a x a 2 a 3 



E le generatrici di ambo i sistemi di quelle oo 1 quadriche formeranno in generale 

 un'unica congruenza (irriducibile) del 6° ordine. 



Ora il sistema (1) è contenuto nel sistema lineare oo 3 : 



(3) X «o + ^i «i + ^2 «2 + h a 3 — ; 



e l'insieme delle singole rigate quadriche contenute nelle superficie di questo sistema 

 lineare può considerarsi come uno spazio doppio, la cui superficie di diramazione <t> 

 (del 4° ordine, con dieci punti doppi, e sarebbe precisamente un cosi detto simme- 

 troide ( 1 )) è costituita dalla varietà oo 2 dei coni contenuti in (3). In questo spazio 

 doppio il sistema (1) è rappresentato da una cubica sghemba t in posizione gene- 

 rale, incontrante la <t> in 12 punti; dal che si trae che il sistema delle rigate qua- 

 driche contenute in (1) è iperellittico di genere 5 (poiché la relativa g\ contiene 

 12 elementi doppi). Ma se la cubica y diventa tangente alla superficie <t> in ogni sua 

 intersezione con essa, dunque in 6 punti (e ve ne saranno ancora oo 6 soddisfacenti 

 a questa condizione), quel sistema oo 1 di rigate quadriche verrà ad acquistare, cor- 

 rispondentemente ai 6 punti di contatto, altrettanti elementi doppi, e si spezzerà 

 perciò in due sistemi oo 1 razionali. Allora le generatrici dei due sistemi delle 

 quadriche (1) costituiranno due distinte congruenze, ciascuna^ del 3° ordine, aventi 

 la (2) per comune superficie focale, e (in generale) di genere sezionale due. 



Se la curva f è tangente alla <t> in 6 punti generici, immagini di coni non spez- 

 zati in coppie di piani, si avranno congruenze contenenti 6 coni quadrici e nessun 

 fascio di rette, e perciò di classe 9. 



Se invece la curva t contiene un certo numero k (> e < 6) dei 10 punti doppi 

 della superficie <t>, i quali sono immagini delle coppie di piani contenute in (3), si 

 avranno congruenze nelle quali la serie oo 1 delle rigate quadriche conterrà 6 — k coni 

 e k rigate spezzate in due fasci; dunque congruenze di classe 9 — k (come si dedur- 

 rebbe anche immediatamente dalla considerazione del numero delle rigate tangenti 

 a un piano generico). 



In ogni caso, se vi fosse qualche altro cono singolare (oltre i coni quadrici e i 

 fasci anzidetti), questo dovrebbe contenere una generatrice (almeno) di ogni qua- 

 drica del sistema (1); e perciò quest'ultimo, e quindi anche il sistema lineare (3), 

 dovrebbero avere il vertice di quel cono come punto base (contro l'ipotesi fatta). 



Se invece il sistema lineare (3) si componesse di quadriche aventi a comune 

 una generatrice u, per ogni sistema (1) le oo 2 generatrici dello stesso sistema di u 

 formerebbero una congruenza di 3° ordine, avente u come raggio triplo di 2 a specie 

 (n° 66). E la classe di questa congruenza sarebbe ancora 9 — k, se delle 6 interse- 

 zioni del sistema (1) col sistema quadratico oo 2 dei coni contenuti in (3) k (< 6) si 

 spezzano in coppie di piani. 



(') Salmon-Fiedler, Anuhjtische Geometrie des Raumes (3" Aufl.), II, p. 468. 



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