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GINO FANO 



Similmente, se le quadriche del sistema lineare (3) hanno a comune due gene- 

 ratrici u, u' di una stessa schiera (nel qual caso ogni cono contenuto in (3) si spez- 

 zerà in due piani), per ogni sistema (1) contenuto in (3) le oo 2 generatrici della 

 stessa schiera di u, u' formeranno una congruenza (3, 3) avente u e u' per raggi doppi 

 di 2 a specie, e contenente 12 fasci di rette, dei quali 6 conterranno a lor volta 

 il raggio u, e 6 il raggio u'. 



68. — Alcune particolari congruenze (3, 3), (3, 4), (3, 5) di genere sezionale due 

 sono state oggetto di studio speciale nella mia Memoria degli " Annali di Matem. „ 

 (ser. 2 a , t. 21). Fra altro, mi sono ivi occupato delle congruenze contenute in un 

 complesso tetraedrale, e che sono precisamente le duali delle congruenze cremoniane 

 di Hiest (*), generate da due piani in corrispondenza birazionale cubica. Queste par- 

 ticolari congruenze (3, n) (n = 3, 4, 5), oltre ai coni quadrici e ai fasci di rette del 

 caso generale, contengono ancora due inviluppi piani di 2 a classe, e due coni razio- 

 nali di ordine n — 1 aventi a comune una generatrice (n — 2) pla , cioè rispett. sem- 

 plice, doppia, o tripla. 



Qui voglio ancora accennare come, per n > 6 (e < 9), si possano avere particolari 

 congruenze (3, n) di genere sezionale due contenenti un cono razionale di ordine n — 1; 



le 2 2 ) generatrici doppie di questo cono (eventualmente sostituibili a terne da 



generatrici triple) saranno allora appunto i raggi doppi di prima specie della con- 

 gruenza. — E siccome le congruenze (n, 3) duali di queste rientrano in un tipo ge- 

 nerale stato considerato dal Caporali ( 2 ), così prenderemo le mosse da queste 

 ultime. 



Si abbia in un piano ir un sistema lineare oo 3 di cubiche aventi a comune un punto 

 doppio A e k (> e < 3) punti semplici B,. Questo sistema rappresenta una superficie 

 (rigata) razionale dello spazio S 3 , di ordine 5 — k. Sia <t> una tal superficie, riferita 

 dunque birazionalmente al piano tt in modo che alle sue sezioni piane corrispondano 

 in tt le oo 3 curve del sistema lineare proposto. Allora le oo 2 rette che congiungono 

 i singoli punti del piano tt ai punti rispett. omologhi sopra <t> formeranno una certa 

 congruenza, della quale si possono stabilire molto facilmente tutte le proprietà. 



Ad es. : la congruenza è di 3 a classe. Il piano tt contiene un inviluppo razio- 

 nale di ordine 8 — k di rette della congruenza (k), generato dalla corrispondenza 

 biunivoca fra la curva di ordine 5 — k sezione di e la cubica corrispondente ad essa 

 nel sistema lineare proposto. La congruenza è perciò di ordine n = (8 — k) + 1 = 9 — k. 

 Il punto A è vertice di un cono quadrico di rette della congruenza, e per esso pas- 

 sano inoltre n — 3 raggi isolati di questa (contenuti in k). Questi n — 3 raggi del 

 fascio A (tt) incontrano le generatrici rispett. omologhe della rigata <t>, alle quali 

 sono riferiti (punto per punto) proiettivamente; e determinano perciò con queste 

 altrettanti inviluppi quadrici di rette contenuti nella congruenza. Quest'ultima con- 



(') " Proc. of the Lond. Math. Soc. „, voi. 16: " Rend. di Palermo „, I, p. 64. 



Sopra alcuni sistemi di rette, " Rend. Acc. di Napoli „, 1879 (o anche: Memorie di Geometria, 

 p. 126 e seg.). La costruzione indicata in seguito è appunto quella di Caporali, applicabile ad ogni 

 sistema lineare co 3 di curve piane algebriche. 



