NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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tiene anche 2k = 2 (9 — n) fasci di rette, dei quali metà hanno i centri nei punti B„ 

 e l'altra metà hanno i piani passanti per le rette AB,; ecc. 



Che poi questa congruenza («, 3) sia di genere sezionale due, è confermato dalla 

 rappresentazione che se ne ha immediatamente sul piano tt, facendo corrispondere a 

 ogni raggio la sua traccia su questo piano : alle rigate intersezioni della congruenza 

 coi complessi lineari corrispondono infatti in tt quartiche passanti doppiamente per A 

 e semplicemente per i punti B^ 



Resta così assodata l'esistenza di congruenze (3, n) di genere sezionale due (duali 

 delle precedenti) le quali contengono (6 < n < 9) : 



precisamente i raggi doppi della congruenza; 



un inviluppo quadrico, il cui piano (a) passa pel vertice del cono T; 



n — 3 coni quadrici, aventi rispett. a comune col cono r le n — 3 sue gene- 

 ratrici che appartengono al piano a, ma non al relativo inviluppo quadrico ; 



2 (9 — n) fasci di rette, dei quali metà hanno un raggio a comune col cono T, 

 e l'altra metà coll'inviluppo a. 



La superficie <p (n° 23-24), luogo dei punti da cui escono terne di raggi della 

 congruenza contenute in un fascio, è in questo caso di ordine n — 3, e deve avere 

 un punto (n — 3) pl ° nel vertice del cono T ; sarà dunque anch'essa un cono, e pre- 

 cisamente un cono aggiunto a T (dovendone contenere le generatrici doppie). E sarà 

 precisamente quel cono (completamente determinato) aggiunto a T e di ordine n — 3, 

 che incontra ulteriormente V stesso secondo le « — 3 generatrici comuni ad esso e 

 ai singoli coni quadrici. 



69. — Le superficie razionali a sezioni di genere due sono un caso particolare 

 di quelle a sezione iperellittiche. E bene pertanto osservare subito che: Una super- 

 ficie razionale a sezioni iperellittiche di genere p > 2 non può mai essere immagine di 

 una congruenza di rette del 3" ordine. 



Ovvero anche : La superficie immagine di una congruenza (3, n) di genere sezio- 

 nale p > 2 non può avere le sezioni iperellittiche. Infatti la rigata R^" 1 " 3 formata dalle 

 rette di una congruenza (3, n) che si appoggiano a una retta generica contiene una 

 serie lineare g' 3 , senza elementi fissi. E se fosse iperell ittica, essa dovrebbe contenere 

 anche una g\. Ora un ente algebrico oo 1 il quale contenga in pari tempo una g\ e 

 una g\ senza elementi fissi è (come si vede immediatamente) di genere < 2. 



Occupandoci pertanto, nei prossimi §§, delle congruenze (3, n) di genere sezio- 

 nale p > 2, potremo sempre supporre che le superficie loro immagini in S 5 abbiano 

 le sezioni non iperellittiche. 



Un cono razionale 



doppie sono 



§ 11- 



Congruenze (3, n) di genere sezionale tre. 



70. — Le congruenze (3, n) di genere sezionale tre hanno la superficie focale 

 di 10° ordine e di classe 2 (n + 2), con curva cuspidale di 21° ordine. Possono con- 

 tenere, e vedremo anzi che contengono sempre, un cono ellittico; ma non possono 



