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GINO FANO 



contenerne più di uno, perchè la rigata residua formata dai raggi della congruenza 

 che si appoggiano a una retta passante pel vertice di un cono ellittico deve essere 

 razionale (n° 8), e non può dunque contenere una componente ellittica. 



Tenuto conto di questo, e indicando con k l'ordine dell'unico cono ellittico, sup- 

 posto esistente (e ritenendo invece k — in caso contrario), le solite relazioni dei 

 n' 40 e 41 diventeranno: 



estese le due somme 2^ a quei soli coni, dai cui vertici esce anche un raggio isolato 

 della congruenza. 



Ora, nella prima di queste relazioni, il primo membro (essendo k < n — 1) non 

 può essere superiore a ( W 2 ^ e d'atra parte il secondo membro è > i^^ 1 )- Sa- 

 ranno perciò entrambi i membri eguali precisamente a ( M 2 * ) ' e qui si trae 

 k = n — 1 : vi sarà cioè effettivamente un cono ellittico , di ordine n — 1 ; e 

 Z x | g j =0, ossia dei coni razionali dai cui vertici esce anche un raggio isolato 



della congruenza, nessuno potrà avere l'ordine h > 2. Questi coni saranno dunque 

 tutti fasci di rette; e il loro numero x si può ricavare dalla seconda delle relazioni 

 scritte di sopra, la quale diventa ora 2 (n — 1) — x = 3 n — 15, e dà perciò 

 x= 13 — n. Questo mostra implicitamente che sarà sempre n<13( 1 ); e possiamo 

 perciò concludere: 



Le congruenze (3, n) prive di linea singolare e di genere sezionale 3 sono tutte 

 di classe<13; esse contengono un cono ellittico di ordine n — 1, e 13 — n fasci di rette 

 aventi ciascuno (come si riconosce facilmente) un raggio a comune con quel cono ( 2 ). 



Le — — — — generatrici doppie del cono ellittico esauriscono appunto i raggi 



a 



doppi (di l a specie) della congruenza. 



La superficie q> (n° 23), di ordine n — 4, è costituita dall'unico cono di questo 

 ordine aggiunto al cono ellittico contenuto nella congruenza. 



71. — Ogni congruenza (3, n) di genere sezionale tre si può dunque rappresen- 

 tare birazionalmente sulla stella di piani avente per centro il vertice del suo cono 

 ellittico, poiché in ciascuno di questi piani sta un solo raggio di essa non apparte- 

 nente in generale a quel cono. 



Più intuitiva riesce la rappresentazione della congruenza (n, 3) duale della pre- 

 cedente. Questa contiene un inviluppo piano ellittico di classe n — 1, e 13 — n fasci 



(') D'altronde è anche noto (Castelnuovo, Sulle superficie algebriche le cui sezioni sono curve di 

 genere tre, " Atti della R. Acc. di Torino voi. XXV) che una superficie razionale a sezioni di ge- 

 nere tre è di ordine < 16. Sarà dunque per noi n + 3<16, ossia appunto n < 13. 



( 5 ) Infatti, se così non fosse, la superficie F""^ immagine della congruenza verrebbe incontrata 

 da un S 4 generico passante per la retta corrispondente a uno di quei fasci secondo una C£+* appar- 

 tenente a tale S 4 , e con n — 1 punti in linea retta : il che è assurdo, poiché gli S 3 per questa retta 

 segherebbero sulla C'^ una serie lineare g%. 



