NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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di rette coi centri nel piano tt di questo inviluppo ; e si vede subito ch'essa si rap- 

 presenta birazionalmente sul piano tt, in modo che alle rigate sue intersezioni coi 

 complessi lineari corrispondono oo 5 quartiche piane, passanti semplicemente per i centri 

 dei 13 — n fasci. 



Queste congruenze esistono anche tutte, per ogni classe (o ordine) n tale che 

 sia 3 < n<13. Infatti per n — i e n = 5 queste congruenze furono già ottenute e 

 studiate nella mia Memoria degli " Annali di Matem. „. Per 7<w<13 si possono ot- 

 tenere congruenze (n, 3) del tipo indicato (e non aventi in generale altri elementi 

 singolari), applicando la generazióne di Caporali (cfr. n° 68) a un sistema lineare oo 3 

 di cubiche con 13 — n punti basi semplici. Infine, per n = 6, si può ancora applicare 

 la stessa costruzione valendosi di una rete di cubiche con 7 punti basi, e assumendo 

 come superficie rappresentativa di questa rete un piano doppio. Si ha però così una 

 congruenza (3, 6) che, oltre all'inviluppo ellittico di classe 5, contiene (nel piano 

 doppio) un inviluppo razionale di classe 4. Questa congruenza può anche concepirsi 

 come generata da due piani riferiti in un'opportuna corrispondenza razionale (2, 1). 



§ 12. 



Congruenze (3, n) razionali di genere sezionale quattro. 



72. — Una congruenza razionale (3, n) di genere sezionale 4 ha per immagine 

 in S 5 una superficie F n+3 a sezioni di genere p = 4. Il sistema lineare Z aggiunto al 

 sistema delle sezioni iperpiane di F, dovendo segare sopra queste ultime la serie 

 canonica gl, si comporrà di curve del 6° ordine; e la sua curva generica sarà irri- 

 ducibile, perchè se no le sezioni di F"+ 3 dovrebbero essere iperellittiche (*), e questo 

 si può escludere (n° 69). — Dico ora che il genere p di questa curva, ossia del sistema Z, 

 è < 2. Infatti, se fosse > 2, la curva generica di Z starebbe in un S 4 ; e perciò il 

 sistema Z sarebbe contenuto (parzialmente) nel sistema delle sezioni iperpiane di F, 

 e nel sistema normale oo" cui questo appartiene. Rispetto a questo sistema normale 

 esso ammetterebbe allora un sistema lineare residuo di dimensione virtuale ( 2 ): 



n — 2p -\- pi -f- 1 = n + Pi — 7 



e di dimensione effettiva non inferiore alla precedente. Questo sistema residuo seghe- 

 rebbe dunque sopra una sezione iperpiana generica di F (almeno) una ^Ctg 1-7 . 



Essendo n > 5 e (per ipotesi) p l > 2, la dimensione di questa serie si annullerà 

 soltanto per n = 5, p v = 2. In questo caso la superficie F" +3 = F 8 sarebbe essa stessa 

 normale, e perciò le curve del sistema Z dovrebbero stare o in spazi S 3 , o in spazi S 4 

 per una retta; dal che si trae che la F 8 dovrebbe contenere o infinite coniche, o 

 una retta doppia; cose entrambe da escludersi. 



Se invece la serie lineare giti 1 ' 1 ha la dimensione > 0, essa, giacendo sopra 

 una curva di genere 4, sarà certo speciale ogni qual volta p x > 2 (e basterebbe anzi 



(') Castelndovo, Ricerche generali sopra i sistemi lineari di curve piane " Mera, della R. Acc. di 

 Torino „, s. II, t. 42, n° 28, a. 

 O Mem. cit., n° 29, p. 37. 



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