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GINO FANO 



Pi > !)• Ora sopra una curva di genere 4 non iperellittica le sole serie speciali com- 

 plete sono la serie canonica g\ e le serie g\, g\, g\; perchè dunque la giti*' 1 si iden- 

 tifichi con una di queste, o con un'altra serie contenuta in una di esse (essendo p v > 2), 

 non è possibile altra ipotesi, se non p l = 2, n = 6 ; nel qual caso si ha una g\. Ma 

 in questo caso il sistema residuo di Z si comporrebbe di oo 1 curve di 3° ordine, e 

 piane, perchè sulla F B+3 = F 9 normale (di S 6 ) le curve di I dovrebbero segarsi cogli S 5 

 di un sistema lineare oo 3 , dunque passanti per un piano (*); si troverebbe così una 

 congruenza di rette con infiniti punti o piani singolari (di ordine tre), e perciò questo 

 caso non fa per noi. v 



Resta pertanto escluso che il sistema Z sia di genere pi > 2 ; e la sua curva ge- 

 nerica non potrà dunque essere che ellittica o razionale. — D'altra parte, poiché la 

 nostra congruenza (3, n) contiene certo qualche cono ellittico ( 2 ), così la superficie F" +3 

 immagine di essa avrà certo delle sezioni iperpiane spezzate in due curve ellittiche 

 (n° 8); e una almeno di queste due sarà sempre contenuta (parzialmente) in Z. In- 

 fatti le curve di Z incontrano quelle due curve ellittiche complessivamente in 6 punti 

 variabili; dunque una almeno di esse in non più di tre punti; e su quest'una non 

 potranno segare allora che una g], cioè una serie lineare di dimensione inferiore a 

 quella di Z. Il sistema Z non potrà dunque essere nemmeno di genere < 1 (poiché 

 contiene delle curve ellittiche): e sarà perciò precisamente di genere uno. 



73. — Il sistema Z, completo, di dimensione 3 e di genere 1 (perciò di grado 3), 

 potrà rappresentarsi mediante una superficie cubica di S 3 ; ossia la nostra F" 4 " 3 potrà 

 riferirsi a una superficie cubica (razionale) di S 3 in modo che al sistema Z aggiunto 

 a quello delle sue sezioni iperpiane corrisponda il sistema delle sezioni piane della 

 nuova superficie. Alle sezioni iperpiane di F" +3 , e anzi della F" +3 normale di S„, cor- 

 risponderanno allora sulla superficie cubica curve di 6° ordine e di genere 4 : dunque 

 intersezioni di essa con quadriche. Ma un sistema lineare di curve siffatte è al più oo 9 ; 

 sarà dunque n< 9, ossia: 



Le congruenze (3, ti) razionali di genere sezionale 4 sono (come anche quelle 

 non razionali) di classe < 9. 



E dalla rappresentazione della F" +3 sulla superficie cubica si passa subito alla 

 sua rappresentazione piana: 



Le congruenze razionali (3, n) di genere sezionale 4 possono rappresentarsi su 

 piano in modo che alle rigate loro intersezioni coi complessi lineari corrispondano curve 

 di 6° ordine aventi a comune 6 punti doppi e 9 — n punti semplici. 



Queste congruenze conterranno perciò, in generale, 9 — n fasci di raggi non 

 aventi a due a due alcun raggio a comune, e 27 rigate quadriche, corrispondenti 

 rispett. ai 6 punti doppi della rappresentazione piana, alle 15 rette che congiungono 



(') Sarebbe questo il caso della F 9 di S 6 rappresentata da un sistema di curve piane di 9° or- 

 dine con 8 punti basi tripli. 



(*) Infatti la relazione generale del n° 40 diventa in questo caso Z 8 f^) — ^ (2) = (" ^H' 1 — 

 sicché sarà certo I3 («) > (anzi > 12). 



