NUOVE K1CERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 67 



questi a due a due, e alle 6 coniche che li congiungono a 5 a 5. — Noi potremo 

 supporre »>5(n° 21) ( l ); e a questo proposito osserveremo ancora: 



che per n = 5 i dieci punti basi (6 doppi e 4 semplici) del sistema di sestiche 

 non potranno stare sopra una cubica; se no a questa corrisponderebbe una retta 

 doppia della superficie F n+ " = F 8 ; 



e che per n — 6 i nove punti basi non potranno appartenere a un fascio di 

 cubiche ; se no a queste corrisponderebbero sulla F" +3 anche cubiche piane, e nella con- 

 gruenza coni o inviluppi piani di rette. 



74. — Ai coni ellittici della congruenza (3, n) corrisponderanno, nella rappresen- 

 tazione piana di questa, altrettante curve di 3° ordine passanti pei 6 punti fondamen- 

 tali doppi e eventualmente anche per qualcuno dei punti fondamentali semplici. Non esi- 

 stono infatti altre curve ellittiche, le cui residue rispetto al sistema di sestiche siano 

 pure ellittiche. 



Due qualunque di queste cubiche (rappresentanti coni ellittici) potranno avere a 

 comune o due, o uno, oppure nessun punto fondamentale semplice; e, corrisponden- 

 temente, esse dovranno incontrarsi in altri 1, 2, o 3 punti. Le stesse due cubiche 

 costituiranno insieme una particolare curva del sistema oo 5 di sestiche; e anzi una 

 curva totale di questo, se vi si aggiungono i punti fondamentali semplici comuni 

 ad esse. 



Di qui deduciamo: Due coni ellittici della congruenza hanno sempre una genera- 

 trice a comune, che può essere semplice, doppia, o anche tripla (per essi e per la con- 

 gruenza). In quest'ultimo caso i due coni esauriscono la rigata R n+3 delle rette della 

 congruenza che si appoggiano alla congiungente dei due vertici ; mentre invece nel 

 secondo caso la stessa R n+3 contiene ancora un fascio di rette, e nel primo caso due 

 fasci di rette. 



In ogni caso poi questa R' ,+3 (composta di due coni ellittici, e eventualmente, 

 anche di uno o due fasci), essendo l'intersezione della nostra congruenza con un com- 

 plesso lineare, dovrà contenere un raggio (almeno) di ogni fascio di rette apparte- 

 nente alla congruenza. E siccome due diversi fasci di questa non hanno alcun raggio 

 a comune, così, questo raggio di ogni ulteriore fascio dovrà appartenere a uno dei 

 due coni ellittici contenuti nella R" +s . Di qui si trae: 



Ogni fascio di raggi contenuto nella congruenza deve avere un raggio a comune 

 con tutti i coni ellittici, meno uno (al più) ; e il suo piano deve perciò contenere i ver- 

 tici di tutti questi coni, meno uno. 



D'altra parte si vede anche facilmente che nel piano di un fascio di rette della 

 congruenza non possono stare che i vertici di al più tre coni ellittici. Infatti, sup- 



(') Facendo n=3, e prendendo i 12 punti basi del sistema di sestiche (6 doppi e 6 semplici) 

 tutti sopra una cubica, si ha un sistema lineare (sovrabbondanteì rappresentativo di una F 6 di S 4 

 con un punto triplo, la quale e una particolare intersezione di una M| e di una M§. Se la M§ non 

 è degenere (ossia se i 6 punti basi semplici non possono ripartirsi in due terne formanti coi 

 6 punti doppi i gruppi basi di due fasci di cubiche), questa superficie è immagine di una con- 

 gruenza (3, 3) razionale contenuta in un complesso lineare non speciale, e con un raggio triplo di 

 2* specie : un caso intermedio fra la congruenza (3, 3) generale del n° 20 e quella (riferibile a una 

 rigata ellittica) del n° 56. 



