GINO FANO 



posto che ve ne fossero quattro, segue già da quanto precede che questi sarebbero 

 vertici di un quadrangolo, e che due qualunque di essi non sarebbero allineati sul 

 centro del fascio; dunque le sei rette che congiungono quei quattro vertici a due a 

 due sarebbero raggi della congruenza, e isolati (in questo piano singolare). Il numero 

 di tali raggi essendo = n — 2 (n° 36), la cosa sarebbe possibile soltanto per n = 8, e 

 quando i sei raggi fossero semplici. Ma per n = 8 vi è nella congruenza un solo fascio 

 di rette, e quindi il raggio comune a due coni ellittici è sempre doppio o triplo; 

 dunque è escluso che nel piano considerato stiano i vertici di quattro coni ellittici. 



Se vi è pertanto un fascio di raggi (vale a dire se n<8), vi saranno al più quattro 

 coni ellittici: dei quali tre aventi i vertici nel piano di quel fascio, e il quarto fuori 

 di questo piano. Ma anche se n = 9 non vi potranno essere più di quattro coni el- 

 littici; infatti in questo caso, non essendovi fasci di raggi, due qualunque di quei 

 coni dovranno avere a comune una generatrice tripla, e i loro ordini avranno per 

 somma 3 -|- 9 — 12. Saranno dunque tutti coni di 6° ordine, con tre generatrici 

 triple; dal che si trae subito che di questi coni ve ne saranno precisamente quattro. 



Concludiamo perciò : Le congruenze (3, n) di genere sezionale 4 contengono al più 

 quattro coni ellittici. 



Faremo ora vedere che (in generale) ne contengono precisamente quattro. 



75. — Dalla rappresentazione piana della superficie F" +3 si vede facilmente 

 che questa, al pari della F n+3 normale di cui è proiezione, non ha in generale punti 

 tripli propri (*); la congruenza (3, n) non avrà dunque raggi tripli di 2 a specie, e 

 nelle formole del n° 57 dovrà perciò porsi t — t' — 0. La superficie focale avrà 

 dunque una linea cuspidale di ordine R = 33; e dalla formola (1') del n° 41 si 

 ricaverà : 



2 Z 3 h = In — 15 + Ij h. 



Ora nella somma Z t h vanno certo computati i 9 — n fasci di rette (poiché 

 ciascuno di essi ha una R n+ì residua di genere 3) ; sarà dunque TJi > 9 — », e 

 perciò : 



I 3 /ì>3(n — 1). 



Ossia: La somma degli ordini dei coni ellittici della congruenza è > 3 (» — 1). 

 E siccome questi coni sono tutti di ordine < n — 1 (poiché, se ve ne fosse uno di 

 ordine n — 1, la congruenza potrebbe rappresentarsi sul piano con un sistema di 

 quartiche, come al n° 71, e avrebbe perciò il genere sezionale <3), cosi concludiamo 

 che gli stessi coni saranno in numero di quattro almeno, c. s. v. d. 



Le congruenze razionali (3, n) di genere sezionale 4 contengono quattro coni ellit- 

 tici; e, se n < 9, i loro 9 — n fasci di rette sono contenuti in altrettante facce del te- 

 traedro determinato dai quattro coni. 



Consideriamo ora uno qualunque degli oo 1 complessi tetraedri aventi il tetraedro 

 anzidetto per fondamentale. Esso avrà a comune colla data congruenza (3, n) i quattro 



(') Se i punti fondamentali doppi della rappresentazione piana stessero sopra una conica, si 

 avrebbe però un punto doppio conico. 



