NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 69 



coni ellittici (i cui ordini hanno somma >3 {n — 1)) e i 9 — n fasci di rette; dunque 

 complessivamente una rigata di ordine non inferiore a 3 (n — 1) + 9 — n == 2 (n -|- 3). 

 Se dunque fra questi oo 1 complessi consideriamo quello che contiene un'altra retta 

 arbitraria della data congruenza, questo stesso dovrà pure contenere tutta la con- 

 gruenza. Vale a dire: 



Le congruenze razionali (3, n) di genere sezionale 4 sono tutte contenute in un 

 complesso tetraedrale. 



Esse potranno dunque generarsi (cfr. n\ 54-55) mediante due inviluppi oo 2 di 

 piani di 3 a classe fra loro collineari, e risulteranno precisamente dalle intersezioni delle 

 coppie di piani omologhi dei due inviluppi. — Viceversa, dalla nota rappresentazione 

 di un complesso tetraedrale sullo spazio (di punti o di piani) si deduce facilmente 

 quella delle congruenze di 3° ordine e di classe < 9 generate nel modo anzidetto ; e 

 si vede che queste, nell' ipotesi che i due inviluppi generatori non abbiano come 

 piano doppio comune nessuno dei piani uniti della collineazione (*), hanno tutte il 

 genere sezionale 4. 



76. — Ricordando ora le proprietà generali delle congruenze contenute in un 

 complesso tetraedrale (cfr. n° 54), se ne possono dedurre facilmente quelle relative 

 alle congruenze (3, n) di genere sezionale 4 (5<w<9). 



La congruenza (3, 9) è generata da due inviluppi oo 2 di piani di 3 a classe, fra 

 loro collineari, e in posizione generale. I sei spigoli del tetraedro fondamentale della 

 collineazione sono per essa raggi tripli; da ciascun vertice di questo tetraedix) esce 

 un cono di 6° ordine e genere uno contenuto nella congruenza, coi tre spigoli ap- 

 partenenti a questo vertice come generatrici triple. 



Quando invece i due inviluppi generatori hanno un piano unito (ossia hanno a 

 comune un piano che corrisponde a se stesso nella collineazione), si ottiene una con- 

 gruenza (3, 8). Dei quattro vertici A, B, C, D del tetraedro fondamentale, uno, ad 

 es., A, è ancora vertice di un cono singolare di 6° ordine, coi 3 spigoli uscenti da A 

 come generatrici triple. Dagli altri vertici B, C, D escono come ellittici di 5° ordine ; 

 il cono uscente da B, ad es., ha BA per generatrice tripla, BC e BD per generatrici 

 doppie. Nel piano BCD (che è il piano unito comune ai due inviluppi) è contenuto 

 l'unico fascio di rette di questa congruenza. 



Due inviluppi di 3 a classe fra loro collineari e con due piani uniti generano una 

 congruenza (3, 7). Dei quattro punti A, B, C, D, due, ad es., A e B, sono vertici 

 di coni di 5° ordine, aventi AB come generatrice tripla comune, e rispett. AC e 

 AD, BC e BD come generatrici doppie. Invece C e D sono vertici di coni quartici 

 con due generatrici doppie (passanti per A e B). La retta CD è raggio semplice 

 della congruenza ; i due piani ACD e BCD contengono ciascuno un fascio di rette 

 di questa. 



Due inviluppi di 3 a classe con tre piani uniti generano una congruenza (3, 6). 

 Il punto comune ai tre piani uniti, e sia D, è vertice di un cono singolare cubico; 



(') Se invece qualcuno dei piani uniti della collineazione e piano doppio per l'uno e quindi 

 anche per l'altro dei due inviluppi, la congruenza risultante è di genere sezionale < 4. In un pros- 

 simo lavoro mi propongo di esaminare più particolarmente le diverse congruenze che così si ottengono. 



