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GINO FANO 



dagli altri vertici A, B, C del tetraedro fondamentale escono coni quaitici, coi due 

 lati adiacenti del triangolo ABC come generatrici doppie. I tre fasci di raggi stanno 

 nei tre piani uniti comuni ai due inviluppi, ossia nei piani ABD, ACD, BCD 



Infine, se tutti quattro i piani uniti delle collineazioni sono comuni ai due invi- 

 luppi generatori, si ha una congruenza (3, 5) contenente quattro coni cubici e quattro 

 fasci di rette (nei piani detcrminati dai vertici di quei coni a tre a tre). Di questa 

 congruenza mi sono già occupato nella mia Memoria degli " Annali di Matema- 

 tica „, n° 26. 



La superficie q>, luogo dei punti da cui escono terne di raggi della congruenza 

 contenute in un fascio, sarà in ciascuno di questi casi una parte della (o tutta la) 

 superficie singolare del complesso tetraedrale ; in cui è contenuta la congruenza. Ora 

 quest'ultima superficie è composta delle quattro facce del tetraedro fondamentale. E 



la superficie <p, che è di ordine n — 5, si compone delle 4 — (9 — n) = n — 5 facce 

 del tetraedro fondamentale, che non sono piani singolari della congruenza (ossia non 

 contengono fasci di rette di questa). 



§ 13. 



La congruenza (3, 6) di genere sezionale 5. 



77. — Della congruenza (3, 6) di genere sezionale 5 (n° 42), supposta esistente, 

 sappiamo che deve essere razionale (n° 44) e deve contenere 10 coni cubici di ge- 

 nere uno. 



Nello spazio S 5 essa avrebbe per immagine una superficie normale F 9 a sezioni 

 di genere 5. Il sistema lineare oo 4 aggiunto a quello delle sezioni iperpiane di F si 

 comporrà di curve di 8° ordine, irriducibili (essendo le sezioni di F non iperellittiche; 

 cfr. n° 69), e appartenenti allo spazio S 5 (poiché se stessero in spazi S 4 , questi spazi 

 incontrerebbero ulteriormente F secondo rette, e non potrebbero nemmeno passare 

 tutti per una stessa retta, sicché F dovrebbe essere rigata). Queste curve C 8 di S 5 

 saranno dunque di genere < 3 ; si vede anche facilmente che saranno appunto di 

 genere tre. 



Infatti ai coni cubici della congruenza corrispondono sopra F 9 curve piane di 

 3° ordine. Proiettiamo F 9 in S 3 da una retta r contenuta nel piano di una di queste 

 curve (t)- Avremo una superficie <t> 6 con un punto triplo isolato A, proiezione della 

 curva r, e una curva doppia ò di 5° ordine. Il secondo piano della M* fondamentale 

 passante per r avrà per traccia un punto B, triplo per <t> 6 e per la curva ò. — H 

 sistema aggiunto a quello delle sezioni piane di F 9 (o di <t> 6 ) verrà segato su <t> ,; dalle 

 sue <t> 3 (superficie cubiche) aggiunte, ossia dalle O 3 passanti per la curva doppia ò e 

 per il punto triplo isolato A. Fra queste 3 vi sono quelle composte del cono qua- 



(') Questa congruenza (3,6) è stata incontrata dal sig. Montesano (cfr. la Mem. cit. : Su di un 

 complesso di rette di 3° grado, n° 9, p. 16) come una particolare congruenza contenuta nel complesso 

 cubico delle generatrici di una rete di quadriche. 



