NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 37 



Queste due relazioni, dimostrate nell'ipotesi p < n — 1 (perchè se no non esi- 

 sterebbe la superficie qp), valgono pure se p=n — 1. Esse dànno infatti in que- 



st' ultima ipotesi x 2 = 0, x 3 — ( n g 1 | . Ora , che in tal caso sia x 2 — 0, F abbiamo 



già veduto al n° 24. Quanto a x 3 , basta osservare che in questo caso l'inviluppo \\t non 

 può comporsi che delle stelle aventi i centri nei vertici dei coni cubici della con- 

 gruenza; il numero x 3 sarà dunque la classe dell'inviluppo vp. E questa, per p — n — 1, 



è appunto g 1 j. 



40. — Le considerazioni svolte nei due n 1 prec. si estendono facilmente a qua- 

 lunque congruenza (3, ri). Ci limiteremo a dare l'estensione della forinola trovata al 

 n° 38. Se indichiamo con ^ una somma da estendersi a tutti i coni della congruenza 

 i cui vertici sono punti doppi per la superficie focale, con Z 2 e ^3 somme da esten- 

 dersi a quei coni i cui vertici sono punti rispett. quadrupli e sestupli per la stessa 

 superficie, e infine con I una somma da estendersi a tutti indistintamente i coni 

 singolari; l'ordine di un tal cono essendo sempre indicato con h; lo stesso ragiona- 

 mento del n° 38 conduce a stabilire la relazione più generale : 



(„-p-l)j (»-»("+«> _, jj> j_E,(t_l)( » )-X,(A_2)( » )-I s (A-3)( » ) 



= 3|("-- ! ) + (,^2)(„- P -l)-l(J)j 



che si riduce a: 



Sa ( J I - Z i ( \ ) = (P - 2 ) ( H 7 1 ) + (1» - 3) i n ~P - 1) 



41. — Per una congruenza priva di raggi multipli abbiamo già determinato il 

 numero x 3 dei coni cubici e il numero x 2 di quei coni quadrici dal cui vertice esce 

 anche un raggio isolato della congruenza. Ci sarà facile ora, con una nuova relazione, 

 di determinare anche il numero x t di quei punti singolari Si dai quali escono un 

 fascio di raggi e in pari tempo un raggio isolato della congruenza. Eguagliando 

 a zero questo numero, e cercando le soluzioni dell' equazione che ne risulterà, 

 saremo sicuri di comprendere tutte quelle congruenze che sfuggono ai teoremi dei 

 n 1 16-18 e 36. 



Ricordiamo che la superficie focale di ogni congruenza di ordine > 3 ha una 

 linea cuspidale, luogo dei punti per cui coincidono tre dei raggi della congruenza 

 che ne escono. Questi raggi, ciascuno dei quali conta come tre rispetto a un suo 



(') Scompaiono dunque da questa relazione (e così anche dall'altra che troveremo al n° 41) 

 tutti quei coni i cui vertici sono punti quadrupli della superficie focale (ossia quei coni razionali, 

 dai cui vertici non escono raggi isolati della congruenza). Questo è d'accordo col fatto, che una 

 congruenza può acquistare o perdere coni di questo tipo (cfr. ad es. § 10) senza che si alteri nes- 

 suno dei suoi caratteri. — Avvertiamo inoltre che nell'applicare la relazione scritta di sopra bisogna 

 tener conto dell'ultima nota al n° 24. 



