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GINO FANO 



L'inviluppo residuo tVi, di classe ( n g ì +(» — 2) (n — p — 1) — x 3 , sarà formato 



esclusivamente dai piani delle terne di raggi uscenti dai punti della superficie qp. 



È facile ora stabilire fra i numeri x 2 e x s due relazioni, dalle quali questi nu- 

 meri potranno poi ricavarsi. 



Consideriamo le intersezioni della superficie qp e di una curva (Z) generica. Gli 



ordini di questi due enti sono rispett. n — p — 1 e ^" — ^?L-hi) — p p ra ] e ] oro i n . 



a 



tersezioni vi sono gli x 2 punti S 2 , semplici tanto per qp quanto per (Z), e che non 

 saranno nemmeno loro punti di contatto, se la (l) è stata scelta in modo generale ; 

 ne vi saranno altri punti singolari della congruenza, perchè nessuno di questi ap- 

 partiene a qp. Le rimanenti intersezioni, in numero di 



dovranno dunque cadere in quei punti non singolari, dai quali escono tre raggi della 

 congruenza contenuti in uno stesso piano per Z. E il numero di questi punti non è 

 altro che la classe dell'inviluppo \\s x . Siccome poi questi punti sono tripli per la (Z) 

 e semplici per la cp, cosi ciascuno di essi assorbirà tre intersezioni. Si avrà dunque 

 questa prima relazione: 



(n-p- 1) j (n ~ *f +4) -P \ - x % = 3 | (»7 1 ) + (n ^fo-g-l) - * 3 j . 



39. — Si considerino ora le intersezioni di due superficie (P) generiche — chia- 

 miamole (Pi) e (P 2 ) — e della qp, il numero complessivo di (2n — p -j- l)' 2 (n — p — 1). 

 Di punti singolari, non vi sono fra esse che gli x 2 punti S 2 , tripli per le (P) e sem- 

 plici per la qp, i quali conteranno come 9 intersezioni ciascuno. Le rimanenti inter- 

 sezioni, in numero di 



(2n —p + l) 2 (n — p — 1) — 9.r 2 



dovranno cadere in quei punti (non singolari), pei quali i tre raggi della congruenza 

 che ne escono stanno in un piano passante in pari tempo per P x e P 2 , dunque per 

 la retta P x P 2 . Il numero di questi punti è di nuovo la classe dell'inviluppo vpj ; e 

 ciascuno di essi, essendo triplo per le due (P), assorbe 9 intersezioni. Abbiamo dunque 

 quest'altra relazione, che scriviamo già divisa per 9: 



(2n— p + ì) 3 , u _ f n — 1 



v^ — p— 1) — x 2 = [ 3 )+(n — 2)0— p — 1) — x 3 . 

 Da questa relazione e dalla precedente si ricava tosto : 



n— p-1 H 2w — P + (» — !)(» + *) , „l 

 2 ì 3 2 + t>S 



x s 



n— *1\ , n-p-1 j (2w - p + l) 2 _ n(n - 1) _j_ _ 2 J _ 

 3 / 2^9 2 



