NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 35 



specie (n° 18), il che ci dispenserà da alcune considerazioni ulteriori che la pre- 

 senza di tali raggi avrebbe richieste. 



Cominciamo col ricordare l'ultima forinola del n° 35, che esprime l'ordine della 

 curva cuspidale della superficie focale di una congruenza (3, n) priva di raggi mul- 

 tipli, o anche avente soltanto dei raggi doppi di 2 a specie (il che si sottintenderà 

 nel seguito di questo §). Vale a dire: 



B= ( »- 2) 2 ( "- 3 ) + {p + i)( p + 2). 



La superfìcie focale della congruenza, non avendo altra curva multipla all'infuori 

 della curva cuspidale (*), sarà perciò di rango: 



p = (2 J > + 4)(2 J > + 3)-3R = ( j >+2)( j > + 3)-3 (»- 2 X»- 8 > 



e questo numero sarà certamente > 0. Dunque: 



Per ogni congruenza di 3° ordine priva di raggi multipli sussiste la diseguaglianza : 



(i> + 2)(y + 3)-3 ( »- 2 >fr- S> >0. 



Ora, per p<n — 5 questa diseguaglianza non è certo verificata. Concludiamo 

 perciò : 



Le congruenze (3, n) prive di raggi multipli hanno "tutte il genere sezionale eguale 

 a uno dei numeri n — 1, n — 2, n — 3, n — 4. 



38. — Consideriamo una congruenza arbitraria (3, n) .'priva di raggi multipli. 

 I coni singolari in essa contenuti saranno tutti di ordine < 3 ; e quelli di 3° ordine 

 saranno tutti ellittici. 



Alla superficie qp, supposta esistente (supposto cioè p < n — 1), apparterranno 

 quei soli punti singolari, dai quali esce un cono quadrico di raggi della congruenza, 

 e inoltre un raggio isolato di questa: tali punti saranno semplici per la qp. Sia x 2 

 il numero di questi punti singolari; S 2 uno qualunque di essi. 



Questi stessi punti saranno poi tripli per le superficie (P) ; come pure saranno 

 punti tripli per le (P) i vertici degli eventuali coni cubici ellittici. Sia x A il numero 

 di questi coni; S 3 il vertice di uno qualunque di essi. 



Per le curve (l) (cfr. n° 28) i punti S 2 saranno semplici e i punti S 3 tripli. 



Osserviamo infine che dall'inviluppo di classe | w g l ^j-\-(n — 2) (n — p — 1) 



formato dai piani che contengono terne di rette della congruenza appartenenti ad 

 un fascio, si staccheranno le x A stelle aventi i centri nei singoli punti S 3 (n° 23). 



( l J Una sua curva doppia non cuspidale sarebbe infatti luogo di punti pei quali dovrebbero 

 escire due diverse coppie di raggi della congruenza infinitamente vicini, e quindi in tutto almeno 

 4 raggi; il che in una congruenza di ordine < 4 non può avvenire che per i punti singolari. 



