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GINO FANO 



ficie focale lungo tutta la linea luogo dei secondi fuochi dei raggi del fascio P (tt); 

 e l'incontrerà ulteriormente secondo una linea di ordine >2p. Anzi la linea luogo di 

 quei secondi fuochi sarà precisamente una conica passante per P (e non una retta), 

 perchè, come il cono tangente alla superficie focale in un suo punto singolare deve 

 essere di classe > 2 (n° 8), così, dualmente, deve essere di ordine > 2 la linea di con- 

 tatto di essa con ogni piano singolare. E il piano tt, essendo tangente alla superficie 

 focale lungo una conica, dovrà contenere, all'infuori del fascio P, altre n — 2 rette 

 della congruenza ( 1 ). 



Queste n — 2 rette, fra le quali possiamo supporre non vi siano raggi multipli 

 di prima specie, si incontreranno a due a due in ^" ~~ ~ ^ punti tutti distinti ( 2 ), 



a 



perchè se no si avrebbero nel piano tt almeno quattro raggi concorrenti in un punto 

 diverso da P : ora, se ciò avvenisse, questo punto sarebbe singolare e vertice di un 

 cono di raggi della congruenza di ordine > 4 (o di un cono cubico razionale, se uno 

 dei quattro raggi fosse isolato rispetto ad esso) ; sicché questo cono avrebbe genera- 

 trici multiple, e quindi la congruenza avrebbe dei raggi multipli di prima specie ( 3 ). — 



dovranno tutti appartenere alla superficie qp, oppure saranno punti singolari. Ma sulla 

 superficie qp (che non contiene le n — 2 rette, perchè per un punto generico di una di 

 esse due dei tre raggi della congruenza che ne escono stanno nel piano tt, e il terzo 

 fuori di questo piano) potranno stare al più n — p — 1 di quegli stessi punti (nes- 

 suno, se p = n — 1); dunque almeno (n — 3) — in — p — 1) —p — 2 di essi saranno 

 punti singolari. 



D'altra parte questi punti sono allora i secondi fuochi dei raggi del fascio P (tt) 

 cui essi rispett. appartengono ( 4 ); dunque staranno sulla conica di contatto del 

 piano tt colla superficie focale; e di qui segue p — 2<2, ossia p <4, c. s. v. d. 



37. — Resta ora a vedere quale possa essere il genere sezionale di una con- 

 gruenza priva in pari tempo di raggi multipli di prima specie, e di fasci di rette 

 aventi il centro in un punto doppio della superficie focale. 



Questa stessa congruenza si potrà anche supporre priva di raggi tripli di seconda 



(*) Più generalmente, un piano il quale tocchi la superficie focale lungo una curva di ordine Ti 

 contiene, oltre al proprio inviluppo singolare, altri n — f raggi isolati della congruenza (teorema 

 duale di quello del n° 6): cfr. Sturm, Op. cit., II, p. 11, n° 295. 



( 2 ) Anche se vi fosse in n qualche raggio doppio di 2 a specie, questo non farebbe eccezione, 

 trattandosi di due raggi che hanno sempre in tt un'intersezione ben determinata. 



( 3 ) Si potrebbe anche pensare che questo punto fosse centro di un secondo fascio di rette della 

 congruenza, appartenente pure al piano .ir. Ma allora, se p > 4, e perciò n > 5, vi sarebbero nel 

 piano tt, all'infuori dei due fasci, ancora n — 4 e perciò almeno due raggi della congruenza; e per 

 il punto d'incontro di questi due passerebbero di nuovo quattro raggi di un fascio. 



( 4 ) A dir vero, potrebbe anche supporsi che, per qualcuno di questi punti singolari, il raggio 

 del fascio P(tt) che lo contiene fosse isolato, e il punto stesso non fosse perciò fuoco di tale raggio. 

 Ma si tratta di un punto dal quale escono già tre raggi della congruenza contenuti nel piano ir, 

 e che per ipotesi non appartiene alla superficie <P; dunque esso non può essere centro che di un 

 fascio di rette (v. Nota prec), oppure di un cono cubico ellittico, nel qual caso non vi sono raggi 

 isolati. 



saranno n — 3 sopra ciascuna delle n — 2 rette ; e 



