NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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rarsi essi stessi come facenti parte della curva cuspidale (n° 15). — Indicando in 

 questo caso con R l'ordine della curva cuspidale residua (astrazion fatta da quei 

 raggi), si trova, rifacendo il ragionamento del Sig. Schumacher, che ogni raggio triplo 

 di seconda specie (ordinario) produce, in generale, nel valore dato dal secondo membro 

 della (1) un abbassamento di sei o di tre unità, secondo che il punto corrispondente 

 sopra f' l+:ì è non apparente oppure apparente. Se dunque indichiamo con t' il numero 

 dei raggi tripli a cui corrispondono punti tripli apparenti, avremo più generalmente: 



(2) R = 3 j(w+ l)(p -f- 2— |-)+* — 2t — t'—2m|. 



Introducendo ora in luogo di t il suo valore trovato al n° preced., e riducendo, 

 si trova: 



(2') R = 3j(* + l] +l _ ft _ 8T _ T 'j. 



Osserviamo ancora che, quando non vi siano raggi multipli di prima specie, 

 essendo (n° 30): 



_ (n— j> — l)(2w— 

 l — 3 



si potrà sostituire nella (2) quest'ultimo valore di t, e valersi perciò, anziché della (2'), 

 di quest'altra espressione: 



Il = (»-2H»-31 + (/> + !) (p + 2 ) — 6x — 3t' 



ù 



la quale, se non vi sono affatto raggi multipli (ovvero anche se vi sono soltanto 

 raggi doppi di 2 a specie) si riduce a: 



R= (»-2)(„- 8) +{p+1){p + 2l 

 § 5- 



Congruenze pri/ve di raggi multipli. Loro genere sezionale. 



36. — Occupiamoci ora più particolarmente delle congruenze (3, n) prive di 

 raggi multipli di prima specie. Anche per queste vi è un caso in cui si può dimo- 

 strare facilmente che il loro genere sezionale è < 4 ; il caso in cui esse contengono 

 un fascio di rette, il cui centro sia punto doppio per la superficie focale. 



Si abbia una congruenza (che possiamo supporre priva di raggi multipli di prima 

 specie) contenente un fascio di rette P del tipo indicato. Ogni raggio di questo 

 fascio avrà in P stesso uno dei propri fuochi; sarà tangente alla superficie focale 

 nel suo secondo fuoco, distinto in generale da P; e incontrerà ulteriormente questa 

 superficie in altri 2p punti. Il piano tt del fascio sarà dunque tangente alla super- 



Skrie II. Tom. LI. e 



