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GINO FANO 



34. — Dall'espressione trovata di p n si ricava: 



. (n — p — 1) (n — p + 2) 



1 — 2 P n T ' 



espressione valevole per ogni congruenza (3, n) non contenuta in un complesso lineare. 

 D'altronde, nelle congruenze contenute in un complesso lineare non si fa nemmeno 

 luogo alla considerazione del carattere t. 



Ricordando ora la relazione (1') del n° 30: 



St \d = {n — p — 1) (2«— _p-f-l) 



e sostituendo a t il suo valore teste determinato, ricaviamo : 



a = (n-,-lKtt+^-4) +3bn + T) , 



forinola che dà il numero dei raggi doppi di prima specie di una qualsiasi con- 

 gruenza (3, n) non contenuta in un complesso lineare, essendo fra questi computati 

 anche gli eventuali raggi tripli (di prima specie), ciascuno come equivalente a tre 

 raggi doppi. 



Vedremo ad es. che per gli stessi valori n — 9, p = 4, sono possibili i tre casi: 

 p n = — 1, t = ,0, d = 15 (n° 52); p n == — 1, t = 1, d = 18 (n° 55) ; p n = t = 0, 

 d = 18 (n° 76). 



85. — La superficie focale di una congruenza di ordine > 3 ha in generale una 

 curva cuspidale, luogo dei punti pei quali non soltanto due, ma tre dei raggi della 

 congruenza che ne escono sono venuti a coincidere. Il Sig. Schumacher ha determi- 

 nato (Meni, cit., pag. 124) l'ordine R di questa curva, per il caso di una congruenza 

 (m, n) di rango r priva di raggi multipli; e ne ha trovata l'espressione: 



R = 3 j [m + n — 2) ( ^ — r) + * t- 2n ! 



dove t è il solito carattere da noi definito al n° 29. 



Per una congruenza di 3° ordine (m=d), ricordando che r — 2n — p — 2, si 

 ricava subito : 



(1) R = 3 | (» •+ 1) [p + 2 - \ ) + t - 2n | . 



Questa stessa formola è pure valida per ogni congruenza avente raggi multipli 

 di prima (ma non di seconda) specie, purché a t si dia il valore convenuto per la 

 formola (1') del n° 30. Ciò è conseguenza immediata del fatto che il ragionamento del 

 Sig. Schumacher è basato soltanto sulla considerazione della superficie f m +" di S 3 

 (n° 32-33), e del numero (che è sempre = t) dei punti tripli per essa e per la sua 

 curva doppia. 



I raggi doppi di seconda specie (ordinari) non influiscono nemmeno sul valore 

 di R. Vi influiscono invece i raggi tripli di 2 a specie, i quali possono anzi conside- 



