NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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vale a ( 3 ) punti tripli analoghi ai precedenti (tanti quante sono le diverse terne 



che possono formarsi cogli n punti semplici ivi soprapposti). Dovremo dunque porre 



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Anche il genere tt della curva b può esprimersi in funzione dei soli caratteri 



/ n \ pio 



n, p, t. E dico precisamente che la curva proiezione di ò dal suo punto I 2 1 , la 



quale è di ordine 2« — p -f- 1 e ha t-\-\ punti tripli (proiezioni di quelli di b), non 

 ha, all'infuori di questi, altri punti multipli. — Infatti, se ne avesse altri, questi 



dovrebbero provenire da punti doppi apparenti di b rispetto al suo punto ^ * j P ; al- 

 lora i raggi proiettanti relativi dovrebbero stare sopra f n + 3 (avendo a comune con 

 questa almeno n -f- 4 punti), e sarebbero perciò proiezioni di rette di F" +3 incontranti 

 il piano P della quadrica fondamentale. Ora la retta u (asse di proiezione) si può 

 certo prendere in modo che i due piani a e p per essa non incontrino nessuna retta 

 di F (anzi, se n > 1, nessuna linea, la quale sia immagine di un cono o inviluppo 

 singolare della congruenza); e allora la curva proiezione di b non avrà certo che i 

 t -f- 1 punti tripli. 



Il genere n di b sarà dunque quello di una curva piana di ordine 2n — p -j- 1 

 avente (soltanto) t -j- 1 punti tripli; vale a dire: 



n== (2n-p){2n-p-l) _ ^ + ^ 



Sostituendo pertanto nell'espressione di p n a T e ir questi loro valori, ed ese- 

 guendo alcune riduzioni, si trova: 



{n — p — l)(n— jp + 2) , 



Volendo ora tener conto anche degli eventuali raggi doppi e tripli di 2 a specie 

 della congruenza, ossia dei punti multipli isolati che loro corrispondono sulla super- 

 ficie / ?n+3 (e che noi supporremo ordinari), basta introdurre una lieve modificazione 

 nel risultato finale. Anzitutto i punti doppi (ordinari) non influiscono affatto sul ge- 

 nere numerico della superficie. E i punti tripli influiscono soltanto quando siano non 

 apparenti; e in tal caso ciascuno di essi, dovendo appartenere (come punto semplice) 

 alle superficie aggiunte della proposta, diminuisce di un'unità il valore di p n . Se in- 

 dichiamo dunque con t il numero di quei raggi tripli (di 2 a specie), ai quali corri- 

 spondono sulla superficie immagine della congruenza punti tripli isolati non appa- 

 renti (e tali sono ad es. tutti i punti tripli a cono tangente irriducibile ellittico), 

 avremo : 



« - («-/>-lK« — p + 2) ,_ t 



