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GINO FANO 



congruenza contenuta in un fascio, e tale che questo fascio abbia un raggio a comune 

 con P (tt) ; abbia dunque il suo centro nel piano tt, e il suo piano passante per P. 

 Il numero di queste terne di raggi è dunque quello che abbiamo indicato con t (n° 29). 



Diremo perciò : La superficie f m+n ha, all' infuori dei putiti multipli A e B, anche t 

 punti tripli, i quali sono pure tripli per la sua curva doppia. 



Nel caso particolare di una congruenza di 3° ordine, la superficie immagine F n+3 

 si proietterà in S 3 secondo una superficie f n+3 con una curva doppia di ordine : 



(;) + 8+r =(;) + «._, + i=(-+»)_ J , 



la quale avrà un punto multiplo di ordine ( g ) ' cne sara nP '° P er ^ a superficie; e 



t -\- 1 punti tripli (includendovi anche A), che saranno tripli anche per la superficie. 



Ai raggi doppi e tripli di l a specie della congruenza devono corrispondere sopra 

 f n+3 punti rispett. doppi e tripli, ma impropri, e quindi appartenenti alla curva doppia 

 dianzi considerata; anzi i punti tripli saranno tali anche per la curva doppia. E 

 questi ultimi risulteranno già computati nei t -j- 1 di cui sopra, se a i diamo (come 

 daremo sempre) il significato convenuto a proposito della forinola (1') del n° 30. 



Ai raggi doppi e tripli di 2 a specie della data congruenza, quando ve ne siano, 

 corrisponderanno invece sopra f n+d dei punti multipli isolati. In generale, si può dire 

 che questi consisteranno in punti doppi non appartenenti alla curva doppia, e in 

 punti tripli i quali o non apparterranno affatto alla curva doppia (punti tripli non 

 apparenti), oppure saranno per essa punti generici (punti tripli apparenti). 



33. — Conoscendo pertanto i caratteri della superficie f" +3 (che per il momento 

 supporremo priva di punti multipli isolati), è facile calcolarne il genere numerico p n . 



Questo carattere non è altro che il numero virtuale delle superficie di ordine 

 inferiore di quattro unità alla proposta, che sono aggiunte ad essa e linearmente 

 indipendenti nel nostro caso dunque il numero virtuale delle superficie di or- 

 dine n — le linearmente indipendenti, che contengono la curva doppia (ò) della f n+3 . 



Se questa curva doppia non avesse che un certo numero T di punti tripli (i 

 quali fossero tali anche per la superficie f 1 ^ 3 ) sarebbe per una nota formola ( 2 ) : 



Pn = . «*>+ - („-!) j ■ ■fr+W** _ p 1 4. 2T + „ _ 1 



dove tt è il genere della curva ò. 



Nel nostro caso, oltre ai t --f- 1 punti che sono tripli per ò e per f n+ì , vi è un 



altro punto, n v '° per la superficie f"" 1 " 3 e per la curva ò ; e questo punto equi- 



(') Cfr. ad es. Enriques, Introduzione alla geometrìa sopra le superficie algebriche, " Mem. della 

 Soc. Ital. delle Scienze „ 8. Ili, t. X, 1896, p. 70. 



( J ) Quest'espressione del genere numerico di una superficie (secondo la denominazione odierna) 

 fu data per la prima volta da Catley, " Math. Ann. „, 3. Zedthen, " Math. Ann. „ 4 e Noetheb, 

 " Math. Ann. „, 8 ne dimostrarono poi l'invariantività rispetto a trasformazioni birazionali. 



