NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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Nel nostro ragionamento si è supposto implicitamente p < n — 1 ; se no non 

 esisterebbe la superficie <p. Ma abbiamo già detto che, se p = n — 1, da nessun punto 

 non singolare escono tre rette della congruenza contenute in un fascio ; sarà dunque 

 allora t = e d = 0. 



31. — Vediamo ora quale sia il significato di t rispetto alla superficie immagine 

 della data congruenza in S 5 ; e quale relazione passi, nel caso di una congruenza di 

 3° ordine, fra il genere numerico di quella superficie, ossia della stessa congruenza, 

 e i vari caratteri di questa già stati considerati. 



La superficie F m+n , immagine (nello spazio S 5 ) di una data congruenza (m, «), si 

 proietta da una retta qualunque u della M\ fondamentale (non incidente ad essa) in 

 una superficie f (semplice, se la u è stata scelta in modo generale) dello spazio S 3 

 e dello stesso ordine m -f- w, con un punto ra pl ° (A) e un punto w pl ° (B), proiezioni 

 rispett. degli m e n punti di F che stanno nei due piani a e P della M< passanti 

 per u. — Le corde di F incidenti ad u daranno origine a una curva doppia della 



superficie /" m+n , la quale nei due punti A e B avrà rispett. le multiplicità (2*) 6 (2 )' 

 Le intersezioni ulteriori di questa curva doppia con un piano passante per la retta AB 

 proverranno da quelle corde di F, che si appoggiano a u, e stanno in un Sj pas- 

 sante per i due piani a e P, ma non in uno di questi piani ; e il loro numero (come 

 si vede facilmente) è eguale al rango r della congruenza. 



La superficie / >m+n avrà dunque una curva doppia di ordine |™j -j- j-hrl 1 ); 



e all'infuori di questa non avrà che (eventualmente) dei punti multipli isolati, se 

 (come abbiamo supposto fin da principio (n. 10)) la congruenza proposta non ha infi- 

 nite rette multiple, e la superficie F m_; ~ n non ha perciò già essa una curva multipla. 

 Il genere p delle sezioni piane di f m+n (che è poi il genere sezionale della congruenza) 

 sarà perciò legato ai caratteri m, n, r dalla relazione : 



/ m -+- 11 \ I m \ I n \ 



p={ 2 )-U)-UJ-r 



che si riduce alla forma già nota (n° 2): 



p = (m — 1) (n — 1) — r. 



32. — La superficie f avrà anche in generale un certo numero di punti tripli, i 

 quali saranno pure tripli per la sua curva doppia. Essi provengono dalle trisecanti 

 della superficie F, che si appoggiano ad u. — Alla retta u della quadrica fondamen- 

 tale corrisponde nello spazio di rette un certo fascio di raggi P (tt); e ad ogni tri- 

 secante di F la quale si appoggi ad u corrisponderà perciò una terna di raggi della 



( l ) Per una congruenza contenuta in un complesso lineare non speciale (w = n = k, r = 0) la 

 superficie immagine F m+n = F 2fc starebbe in uno spazio S 4 ; e da una retta generica u della Mf fon- 

 damentale (non contenuta in questo S 4 ) essa si proietterebbe in una /^ fc di S 3 , la cui curva multipla 

 •sarebbe costituita da una conica fc pla . 



