GINO FANO 



Questo carattere / fu anche considerato dal Sig. Schumacher, il quale però si 

 è limitato a determinarlo in qualche caso particolare, e a fissarne un confine supe- 

 riore (Mem. cit., pag. 115), che per una congruenza di 3° ordine non è mai raggiunto 

 (tranne che per n = 2, p = 1). 



Ma nel caso di una congruenza di 3° ordine il numero t è legato al numero 

 dei raggi multipli (doppi e tripli) di prima specie da una relazione che può stabilirsi 

 facilmente. 



30. — Cerchiamo come debba comporsi, nel caso di una congruenza di 3° or- 

 dine, l'intersezione della superficie qp con una (P) generica: intersezione che deve 

 essere complessivamente di ordine (n — p — 1) (2n — p -\- 1). 



I punti della superficie qp godono della proprietà caratteristica che i tre raggi 

 della congruenza che ne escono stanno in un piano. Per quei punti di essa che stanno 

 in pari tempo sopra una data (Pj, il piano dei tre raggi, supposto determinato, dovrà 

 dunque passare per il punto P corrispondente a questa (Pj; e il luogo ditali punti 

 sarà la curva C (n. 29) corrispondente al punto P. Questa curva sarà anzi tripla 

 per la superficie (P) considerata, perchè per ogni punto di essa i piani determinati 

 dai tre raggi della congruenza a due a due (coincidono e) passano tutti per P. 



All'infuori di questa curva, che conterà come parte di ordine 3£ nell'intersezione 

 complessiva, le due superficie cp e (P) non avranno a comune che i raggi doppi e 

 tripli (di prima specie) della congruenza, dei quali i primi (cfr. n' 23, 26) saranno 

 rette semplici di entrambe le superficie, mentre i secondi saranno doppi per cp e tripli 

 per (P). Indicando pertanto con d il numero dei raggi doppi e con d x il numero dei 

 raggi tripli (sempre di prima specie), avremo la relazione: 



(1) 3« + rf+ Gdi^in— p — 1) (2n— p + l). 



Conviene però osservare che, se vi sono raggi tripli u di prima specie, ciascuno 

 di questi può considerarsi come parte della curva C ! corrispondente a un qualsiasi 

 punto P (potendo assumersi come piano dei tre raggi sovrapposti uscenti da un punto 

 qualunque di u il piano determinato dalla retta u, comune sostegno di quei raggi, 

 e dal punto stesso P). Se perciò nell'ordine i di questa curva intendiamo già com- 

 putati anche gli eventuali raggi tripli di prima specie della congruenza, potremo 

 dare alla stessa relazione la forma più semplice: 



(1') 3t + d={n — p— l)(2n — p+ 1) 



dove il termine d sostituisce la somma d -(- 3d } di poc'anzi ; vale a dire d indica il 

 numero dei raggi doppi di prima specie, computati fra questi anche i raggi tripli, 

 come equivalenti ciascuno a tre raggi doppi. 



Per una congruenza di 3° ordine priva di raggi multipli di prima specie sarà 

 dunque : 



e in ogni caso questo valore sarà un confine superiore di t (inferiore, in generale, a 

 quello del sig. Schumacher). 



