NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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Le superficie (P) hanno la multiplicità 2h — 3 in ogni punto singolare il quale sia 

 vertice di un cono ellittico di ordine h di raggi della congruenza ; vi hanno invece la 

 multiplicità 2h — 2 se questo cono è razionale, senza però che da quel punto escano 

 raggi isolati della congruenza ; e hanno la multiplicità 2h — 1 in ogni punto singolare 

 dal quale esca un raggio isolato della congruenza. 



28. — Anche ad ogni retta l dello spazio si può col legare rispetto a una data 

 congruenza (m, n) un certo luogo di punti, e precisamente una certa linea (l) 

 Indicheremo con questo simbolo la linea luogo dei punti dai quali escono coppie di 

 raggi della congruenza contenute in un piano passante per la data retta l ; in altri 

 termini, la curva doppia della rigata costituita dalle rette della congruenza che si 

 appoggiano ad l. Questa curva incontra la retta l in r punti (tanti precisamente,, 



quant'è il rango della congruenza), e incontra ancora ogni piano per l in ( n ] punti; 



essa è perciò di ordine |* j \ r ; dunque per m = 3, r — 2n — p — 2, di ordine : 



{;)+*.-,-»=['+*)-,-»= 



Questa curva (per m = 3) avrà come punti tripli tutte le sue intersezioni colla su- 

 perficie q>, perchè i tre raggi della congruenza uscenti da un tal punto (supposto 

 non singolare) dovranno stare tutti nel piano passante per quel punto e per l, e 

 determineranno perciò a due a due tre piani (coincidenti) passanti tutti per l. Questi 

 stessi punti saranno pure tripli per la rigata R"" 1 "" di cui la (l) è curva doppia. E ogni 



punto singolare vertice di un cono di ordine h sarà 7t pl ° per la R" +3 e | ^ ) P P er ^ a 



curva (l). 



§ 4. 



Carattere t di una congruenza. 

 Espressione del genere numerico mediante i caratteri n, p, t. 



29. — Insieme ai due caratteri di una congruenza di rette che abbiamo con- 

 siderati ai n' 22-23 e che sono fra loro duali, l'ordine cioè della superficie cp e la 

 classe dell'inviluppo ty, occorre considerarne un terzo, duale di sè stesso, e meno 

 facile a determinare : il numero t delle terne di raggi della congruenza contenute in un 

 fascio, e tali ancora che il centro di questo fascio appartenga a un piano assegnato, e 

 il piano dello stesso fascio appartenga a una determinata stella. Questo numero t è altresì 

 l'ordine della curva luogo di quei punti P della superficie <p dai quali escono tre 

 raggi della congruenza contenuti in un medesimo piano di una data stella A (curva 

 che chiameremo brevemente la " C corrispondente al punto A „); e, dualmente, la 

 classe della sviluppabile formata dai piani ir che contengono una terna di raggi della 

 congruenza formanti fascio intorno a un punto di un piano assegnato. Questa svi- 

 luppabile sarà naturalmente contenuta nell'inviluppo oo 2 ijj. 



(') Stcrm, Op. cit., II, p. 2, n u 289. 



