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GINO FANO 



proiettano punti di uno stesso gruppo della g\ sulla Nasce cosi una corri- 



spondenza involutoria d'indice 2(n-)-3), le cui coincidenze conducono a stabilire 

 la relazione: 



4 (n + 3) = 2a? -f y + y' 



dove y è il numero (= 2p + 4) dei gruppi della g\ che contengono un elemento 

 doppio (*), e y' è il numero di coincidenze assorbite da quei punti multipli della Cp +a 

 che rappresentano due o tre punti di uno stesso gruppo della g\. Nel nostro caso vi 

 è soltanto un punto triplo che costituisce di per se un gruppo della g\, e assorbe 

 perciò sei coincidenze; avremo quindi: 



4 ( w -f 3) = 2x + (2p + 4) + 6 



da cui x — 2n — p -\- 1. — Se però la retta l incontra un raggio doppio u di l a specie, 

 la Cp +3 piana avrà in corrispondenza un punto doppio, che rappresenterà due punti 

 di uno stesso gruppo della g\; la classe x diminuirebbe allora di un'unità, dal che 

 si trae che delle 2n — p -\- 1 intersezioni della retta l colla superficie (P) una cadrà 

 nel punto lu. I raggi doppi di l a specie della congruenza sono dunque contenuti {sempli- 

 cemente) in tutte le superficie (P); e similmente si vedrebbe che i raggi tripli di l a specie 

 sono rette triple delle superficie (P). Sotto altra forma, ciò vuol dire che per un punto 

 arbitrario di un raggio doppio o triplo di l a specie ti è completamente indeterminato 

 nel fascio u il piano dei due, o di due qualunque dei tre raggi sovrapposti che ne 

 escono: ogni piano per u può considerarsi, rispetto a quel punto arbitrario, come 

 piano di tali raggi (cfr. n. 10). — Non occorre avvertire che questo ragionamento 

 non è applicabile ai raggi multipli di 2 a specie, risultando allora la C" +3 di genere < p. 



27. — Consideriamo ora una retta l passante per un punto singolare S, il quale 

 sia vertice di un cono di ordine h contenuto nella congruenza, e sia un punto 2i pl ° 

 per la superficie focale di questa. Il numero x x di quelle intersezioni di l con una (P) 

 che cadono fuori di S si potrà determinare con un ragionamento analogo al prece- 

 dente, cambiando soltanto l'ordine n -f 3 della C" +3 piana in n ~\- 3 — h, e il numero 

 y = 2p -j- 4 dei punti doppi della g\ in 2p -f- 4 — 2i (poiché tante sono le interse- 

 zioni di l colla superficie focale, fuori di S). Avremo perciò la relazione: 



4(n -f 3 — h) = 2xì -f (2p + 4 — 2i) + 6 



dalla quale si ricava: 



Xl =z (2n — p 4- 1} — (2h — i). 

 La superficie (P) avrà dunque nel punto S la multiplicità 2h — i; vale a dire: 



(') Questi gruppi sono segati dalle terne di generatrici della rigata R" +3 che escono dalle in 

 tersezioni di l colla superficie focale. — Avvertiamo poi che la questione qui risoluta rientra in 

 una notissima di geometria sopra una curva algebrica (v. la Mem. cit. del sig. Segre, pp. 57'58). 



