NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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con generatrici multiple; e nemmeno coni quadrici dal cui vertice esca anche un 

 raggio isolato della congruenza. 



25. — Parliamo ora di alcune altre superficie, che si collegano allo studio delle 

 congruenze di rette, e delle quali si vale continuamente anche il Sig. Sturm (nel- 

 l'opera già più volte cit.) per le congruenze di 2° ordine. 



Data una qualsiasi congruenza (m, n) di rango r, e fissato nello spazio un punto 

 arbitrario P, si può domandare quale sia il luogo dei punti tali che, fra le m rette 

 della congruenza che ne escono, ve ne siano due il cui piano passi per P ('). Questo 

 luogo è una superficie, che il Sig. Sturm indica e noi pure indicheremo col sim- 

 bolo (P); essa è di ordine m ^ -\- r ( 2 ), avendo in P stesso un punto multiplo di 



ordine ( ™ j, ed essendo incontrata da una retta generica passante per P in altri r punti. 



Le m rette della congruenza uscenti da P appartengono a questa superficie, e ne sono 

 precisamente rette multiple di ordine m — 1. 



Nel caso di una congruenza di 3° ordine, questa superficie (P) sarà di ordine 

 r-|-3 = 2« — avrà il punto P come triplo, e le tre rette della congruenza 



uscenti da P come rette doppie. 



Volendo ora trovare la multiplicità delle superficie (P) nei punti singolari di una 

 congruenza (3, n), determineremo direttamente il numero delle intersezioni di una 

 tal superficie con una retta generica dello spazio ; numero che abbiamo detto testé 

 essere =r4~3 = 2w — p-\-\\ e vedremo poi come si modifichi questo numero 

 quando la retta considerata passa per uno dei punti singolari ( 8 ). 



26. — Data una retta generica l, si domanda per quanti punti di essa passano 

 coppie di rette della congruenza contenute in un piano per un punto arbitrario P. 

 — Consideriamo la rigata R" +3 delle rette della congruenza incidenti a l, e seghia- 

 mola con un piano generico passante per P. Avremo una Cp +3 piana, sulla quale le terne 

 di rette della congruenza uscenti dai singoli punti di l segheranno i gruppi di una g\ ; 

 e il punto triplo che quella curva ha nell'intersezione del proprio piano con l costi- 

 tuirà di per sè un gruppo di questa serie lineare. 



Il numero che noi cerchiamo è quello delle coppie di punti contenute in gruppi 

 della gl e allineate su P, ossia la classe dell'inviluppo formato dalle rette che con- 

 giungono a due a due i punti di ogni singolo gruppo della g\. Questo numero, che 

 indicheremo con x, si determina con una semplicissima applicazione del principio di 

 corrispondenza ; considerando cioè come omologhi nel fascio di rette P due raggi che 



t, 1 ) Sotto altra forma, sarebbe questo il luogo dei punti tali che uno dei piani ad essi corri- 

 spondenti nel sistema nullo superiore determinato dalla congruenza passi per P. 



( 2 ) Sturm, Op. cit., IT, p. 3, n° 289. 



( 3 ) Un'altra via, forse un po' più breve, consisterebbe nel determinare in quanti punti una (P) 

 è incontrata dalla retta che congiunge un punto singolare S al punto P ad essa corrispondente, 

 fuori ben inteso dei punti stessi S e P (il secondo dei quali è triplo per essa). 11 numero di questi 

 punti è quello delle coppie di raggi della congruenza uscenti da un punto non singolare della retta 

 S P e formanti fascio con questa stessa retta ; cioè il numero da noi indicato con r al n° 5, e- che 

 ora, conoscendo la multiplicità di S per la superficie focale, potremmo facilmente determinare in 

 ogni singolo caso. 



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