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GINO FANO 



24. — Proponiamoci ora di determinare la multiplicità della superficie qp nei 

 diversi punti singolari della congruenza. 



Consideriamo un punto singolare S, il quale sia vertice di un cono di oi'dine h 

 contenuto nella congruenza, e sia un punto 2i^° della superficie focale. Se l è una 

 retta generica passante per questo punto, le rette della congruenza appoggiate ad l 

 formeranno, astrazion fatta da quel cono, una rigata di ordine n -\- 3 — // e di ge- 

 nere p — i (cfr. n° 7). Dalla stessa formola già applicata al n° 22 segue pertanto 

 che vi saranno sopra l: 



(n — lì) — (p — i) — \ ={n — p — 1) — (h — i) 



punti, distinti in generale da S, dai quali esciranno tre raggi della congruenza con- 

 tenuti in un piano, e che apparterranno perciò alla superficie cp. E la multiplicità 

 di questa superficie (che è di ordine n — p — 1) nel punto S sarà perciò h — i. 

 Facendo ora successivamente i = 3, 2, 1, ricaviamo (cfr. anche n. 8): 

 In un punto singolare vertice di un cono ellittico di ordine h (> 3) di raggi 

 della congruenza, la superfìcie qp ha la multiplicità h — 3. In particolare , la super- 

 ficie qp non passerà per quei punti singolari che sono vertici di coni cubici di 

 genere uno. 



In un punto singolare dal quale esca un cono razionale di ordine h (> 2) di raggi 

 della congruenza, e nessun raggio isolato di questa, la superficie qp avrà la multiplicità 

 h — 2. Per h = 2 il punto singolare non apparterrà dunque alla superficie qp; e lo 

 stesso avverrà pure se h — 1 ('). 



Infine, in un punto singolare della congruenza dal quale esca un cotto razionale di 

 ordine h (> 1) e anche un raggio isolato della stessa congruenza, la superfìcie cp avrà 

 la multiplicità h — 1 ( 2 ). 



Osserviamo ancora che nel caso p = n — 1, non esistendo la superficie qp, non 

 potrà esservi nessun punto singolare pel quale sia h > i; ossia nessuno di quei punti 

 che, quando esistessero, dovrebbero appartenere alla detta superficie. Dunque: Una 

 congruenza (3, n) di genere sezionale p — n — 1 non può contenere altri coni singolari, 

 all'infuori di coni cubici di genere uno, coni quadrici pel cui vertice non passino raggi 

 isolati della congruenza, e fasci di rette. In particolare, non vi potranno essere coni 



(') In questo caso, quando si abbia cioè un fascio di rette contenuto nella congruenza e dal cui 

 centro S non escano altri raggi di questa, le rette incidenti a una direttrice generica l passante 

 per S formeranno, astrazion fatta dal fascio, una rigata di ordine n + 2 e genere p — 2 ; sicché 

 sopra l vi saranno n — p punti pei quali le tre generatrici di questa rigata che ne escono staranno 

 in un fascio. Di questi, uno è evidentemente S medesimo; gli altri saranno le intersezioni di l colla 

 superfìcie <p. 



( 2 ) Qualche avver lenza speciale va fatta per i coni i cui vertici S appartengono a un raggio 

 triplo di 2" specie v. Per una retta l uscente da un tal punto S la rigata R"+ s— h residua del cono 

 singolare ha v come generatrice doppia; e di qui segue che, nella solita g\ sudi essa, la tema delle 

 generatrici uscenti da S (fra le quali sta appunto la generatrice doppia, contando come due fra le 

 tre) va computata come una di quelle contenute in un fascio. La multiplicità di qp nel punto S non 

 sarà dunque soltanto h — *, ma /( — * -f- 1. Sotto altra forma, si può dire che il numero i deve qui 

 computarsi come se fosse inferiore di un'unità al suo vero valore. 



