NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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ricaviamo : / piani, per cui tre fra gli n raggi della data congruenza (3, n) che vi sono 

 contenuti passano per uno stesso punto, formano un inviluppo di classe: 



(n-2))r + 



(n — l)(n — 9) 

 6 



| = (n-2)l (,, - 1) 6 ( " + 8) -pl=Ì*7 1 )+(n-2)(n- J )-l). 



Per quest'ultimo risultato occorre però un'avvertenza. 



Mentre da un punto, il quale non sia singolare per la data congruenza (3, n), 

 non possono escire più di tre raggi di questa congruenza, e quindi nemmeno più di 

 tre raggi contenuti in un piano, non si può invece escludere che fra gli n raggi 

 contenuti in un piano, anche non singolare, ve ne siano /* > 3 passanti per un me- 

 desimo punto (che sarà allora punto singolare), oppure anche vi siano due o più 

 terne di raggi appartenenti ciascuna ad un fascio. In quest'ultimo caso il piano sarà 

 doppio, o multiplo di un ordine corrispondente ; per l'inviluppo ip. E nel primo caso, 



della data congruenza si stacca dall'inviluppo (come inviluppo oo 2 di piani di prima 

 classe) colla multiplicità ( _ ] . 



Un'altra osservazione che importa fare è la seguente. Se la congruenza ha qualche 

 raggio doppio di prima specie, questi raggi apparterranno tutti alla superficie cp. Infatti 

 la curva Cp 4 " 3 , immagine della rigata R" +3 avente per direttrice una retta l appog- 

 giata a un raggio doppio, avrà (corrispondentemente a questo raggio) un punto 

 doppio che conterà come due elementi nel gruppo della g\ che lo contiene; ed è 

 noto che questo gruppo deve allora considerarsi come uno di quelli collineari 

 Ciò è anche giustificato dal fatto che, dei tre raggi uscenti da un punto di un tal 

 raggio doppio, i due sovrapposti hanno un piano completamente indeterminato (cfr. 

 n° 26), sicché tutti tre potranno considerarsi come contenuti in un fascio. 



Similmente, i raggi tripli di prima specie sono rette doppie della superficie cp. Per 

 accertarcene, possiamo fare la considerazione seguente. La curva Cp +3 di S 4 , imma- 

 gine della rigata R n+3 avente per direttrice una retta appoggiata al raggio triplo, 

 ha in questo caso un punto triplo che costituisce da per sè un gruppo della g\. Da 

 questo punto triplo essa si proietta in una C£ di S 3 , sulla quale i gruppi della <? 3 

 stanno nei piani di un fascio ; e quelli fra questi gruppi che sono collineari sono 

 proiezioni di gruppi anche collineari della Cp" +3 . Ora, sulla Cp di S 3 , applicando la 

 stessa formola di poc'anzi, si trova che vi sono n — p — 3 gruppi della g\ costituiti 

 da punti in linea retta; dunque sulla Cp +3 , degli n — p — 1 gruppi collineari del caso 

 generale, due saranno assorbiti dal punto triplo ; come appunto si voleva dimostrare. 



I raggi doppi e tripli di seconda specie non appartengono alla superficie qp. 

 Anche quest'ultimo ragionamento non è ad essi applicabile, perchè le rigate R n+3 

 contenenti questi raggi multipli sono di genere < p. 



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(') Segre, Mem. cit., p. 58. 



