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GINO FANO 



avente una direttrice generica l; e questa si concepisca come una curva C™*" dello 

 spazio S 4 , contenente una serie lineare <jrj, in corrispondenza ai gruppi di m gene- 

 ratrici di quella rigata che escono dai singoli punti di l. Il numero (che noi appunto 

 cerchiamo) di quelli fra questi gruppi che contengono tre rette di un fascio, sarà 

 precisamente il numero dei gruppi della g x m che contengono una terna di punti colli- 

 neari. Ora, poiché gli co 1 gruppi di questa g x m stanno nei piani di un cono quadrico, 

 così il numero richiesto sarà dato dalla forinola fondamentale del Sig. Segee relativa 

 alle involuzioni sopra un ente algebrico oo 1 ('): 



I m — 1\/ I m \ (m — 2 \ , -, 



z =( t )( w -*)-(*+i; v - (*-i)(p- mn ) 



> 



nella quale si ponga k — 2 (poiché i gruppi della g l m appartengono a piani) ; v = 2, 

 n = (poiché questi piani formano una varietà quadratica razionale); e si cambi 

 inoltre m (ordine della curva) in m -\- n, e p in (m — 1) (n — 1) — r. Fatte queste 

 sostituzioni e alcune riduzioni, si troverà: 



z = ( m — 2) | r + v K - J 



che è appunto l'espressione già data da Schumacher ( 2 ). 



23. — In particolare per una congruenza (3,n) — facendo cioè m=3 — ri- 

 caviamo : 



Data una congruenza (3, n) di rango r e genere sezionale p, i punti delio spazio 

 pei quali i tre raggi di essa che ne escono stanno in un piano formano una superficie 

 cp di ordine r — n -j- 1 = n — p — 1. 



Ciò dimostra per altra via la diseguaglianza p<n — 1. E nel caso estremo 

 p = n — 1 non vi sarà nessun punto non singolare dal quale escano tre raggi della 

 congruenza contenuti in un piano. 



Scambiando invece m e n nell'espressione di z, e facendo poi di nuovo m=3, 



(') È questa la forinola (4) a p. 61 della Memoria: Introduzione alla geometria sopra, un ente 

 algebrico semplicemente infinito, " Annali di Matem. „, s. 2", t. 22. Vedi anche la nota dello stesso A.: 

 Sulle varietà algebriche composte di una serie semplicemente infinita di spazi, " Rend. della R. Acc. 

 dei Lincei „, 1887. 



( 2 ) Il numero z teste determinato e il suo duale (che si ottiene scambiando fra loro m 



e n), sommati insieme, danno il numero totale di quelle terne di generatrici della solita 



rigata R m + n che appartengono ad un fascio; poiché queste tre generatrici, incontrando tutte 



la direttrice rettilinea l, devono appartenere o a uno stesso punto di l, o a uno stesso piano 



, T . i , , i iftt iv . (in — 1) [m — 3m) ì . . ->) . (n — 1)(« — 3w)j , 

 per l. La somma anzidetta j m — 2 j |*r -j g j + \n — 2 ) | r ~\ ~ ( deve 



dunque essere eguale al numero delle trisecanti della curva +" dello spazio S 4 , immagine di quella 

 rigata. Quest'ultimo numero fu determinato per la prima volta dal sig. Castelncovo (Un'applica- 

 zione della geometria enumerativa alle curve algebriche, " Rend. di Palermo „, voi. Ili, 1889), e ritro- 

 vato dal sig. Tanturri (Ricerche sugli spazi plurisecanti di una curva algebrica, " Ann. di Matem. 



s. Ili, t. 4, p. 67 e seg.). Supposto che sia finito, esso vale f ,W "^*g — (m-)-M — 4)p. E infatti 



la somma precedente, quando in essa si ponga r — (m — 1) (» — 1) — p, si riduce con un breve cal- 

 colo a quest'ultima espressione. 



