NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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21. — D'ora in poi faremo astrazione dalla congruenza (3, 3) contenuta in un 

 complesso lineare ; e supporremo perciò che nella nostra congruenza (3, n) i tre raggi 

 uscenti da un punto generico dello spazio non stiano in un piano. 



Per queste congruenze si può dimostrare che i due caratteri r e p, legati dalla 

 relazione r-\-p — 2{n — 1), soddisfano anche alle due diseguaglianze: 



ciascuna delle quali è evidentemente conseguenza dell'altra. 



Infatti la rigata R n+3 formata dalle rette della congruenza che si appoggiano a 

 una retta arbitraria l può considerarsi come una curva C£ +3 dello spazio S 4 . Alle 

 terne di generatrici di quella rigata uscenti dai singoli punti di l corrispondono 

 sulla Cp +3 i gruppi di punti di una serie lineare g\; e dire che quelle terne di ge- 

 neratrici non stanno in generale in un fascio equivale a dire che i tre punti di un 

 gruppo generico di questa g\ non sono collineari. La curva C£ +3 di S 4 è dunque non 

 speciale (perchè, in caso contrario, questi gruppi dovrebbero appunto essere colli- 

 neari) (') ; e sarà perciò p < (n -f- 3) — 4, ossia p < n — 1, c. s. v. d. 



22. — Se per una data congruenza del 3° ordine i tre raggi uscenti da un 

 punto generico dello spazio non stanno in un piano, può avvenire tuttavia che stiano 

 in un piano le terne di rette uscenti da punti particolari; e presumibilmente dai 

 punti di una superficie; trattandosi di un'unica condizione imposta ai tre raggi. Noi 

 possiamo domandarci pertanto se e quando ciò avvenga ; quale sia il luogo dei punti 

 (dato che ve ne siano) che godono della proprietà accennata, e in pari tempo quale 

 sia l'inviluppo dei piani che contengono le terne di raggi uscenti da quei punti. 



Questi due enti furono considerati per la prima volta da R. Schumacher nella 

 sua Dissertazione: Untersuchungen iiber das Strahlensystem drifter Ordnung und zweiter 

 Classe... (Miinchen, 1885), e successivamente da lui stesso nella Memoria: Classi- 

 fìcation der algebraischen Strahlensijsteme (Math. Ann., Bd. 37; p. 100 e seg.). In questa 

 Memoria è dimostrato che, data una qualsiasi congruenza (m, n) di rango r tale che 

 degli m raggi di essa uscenti da un punto generico dello spazio tre qualunque non 

 stiano in un piano, vi è tuttavia una superficie (che l'A. chiama Tripelflàche) luogo 

 di punti pei quali tre di quei raggi stanno in un piano; e l'ordine di questa super- 

 ficie è dato dall'espressione: 



Scambiando in quest'espressione i due numeri m e n, si ha la classe dell'inviluppo 

 formato dai piani delle stesse oo 2 terne di raggi. 



Quest'espressione può anche dedursi da una nota forinola di geometria sopra una 

 curva algebrica. Consideriamo infatti, nella congruenza (m, «), la solita rigata R m+n 



p < n — 1 



r > n — 1 



(') Castelnuovo, Ricerche di geometria sulle curve algebriche. " Atti della R. Acc. di Torino 

 voi. XXIV, n° 14. 



