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GINO FANO 



finitamente vicini due raggi h e k della congruenza, i quali si appoggiano a g senza 

 formare fascio con esso; e allora dovranno essere infinitamente vicini anche i rima- 

 nenti (terzi) raggi dei fasci hg e kg. Ciò vuol dire che ogni piano tangente alla su- 

 perficie focale dovrebbe contenere almeno due coppie di raggi infinitamente vicini, 

 e dovrebbe perciò toccare quella superficie in almeno due punti (in generale distinti), 

 il che non è possibile. Si deve dunque escludere l'ipotesi » > 3. 



20. — Si abbia ora una congruenza (3, 3) tale che i tre raggi di essa appar- 

 tenenti a un punto o piano arbitrario formino sempre fascio. Allora, se ai singoli 

 punti di un raggio g della congruenza facciamo corrispondere i piani delle terne di 

 raggi uscenti da essi (i quali piani passeranno tutti per g), verremo a stabilire fra 

 la punteggiata g e il fascio di piani di asse g una corrispondenza algebrica e bi- 

 univoca, vale a dire una proiettivi tu. Questa proiettività definirà una congruenza li- 

 neare speciale f", avente g come (unica) direttrice; e in questa congruenza sarà 

 contenuta la rigata R fi formata dalle rette della data congruenza (3, 3) che si ap- 

 poggiano a g. 



Pertanto, il complesso lineare che contiene la congruenza V e una nuova retta 

 arbitraria (non incidente a g) della congruenza (3, 3) proposta, avrà a comune con 

 quest'ultima congruenza una rigata di 6° ordine (già contenuta in I") e un'altra retta 

 ancora ; esso dovrà dunque contenerla per intero, vale a dire la congruenza proposta 

 sarà contenuta in un complesso lineare (necessariamente non speciale, se la data con- 

 gruenza non ha una linea singolare). 



Ora, per un noto teorema di Klein (*), ogni congruenza di grado k (ossia di 

 ordine e classe — k) contenuta in un complesso lineare non speciale è intersezione 

 di questo complesso con un complesso di grado k. Concludiamo perciò: 



Vi è una sola congruenza (3, n) priva di linea singolare e tale che i tre raggi di 

 essa uscenti da un punto qualunque stiano in un piano; e questa è la congruenza (3, 3) 

 intersezione di un complesso lineare non speciale con un complesso cubico. 



Questa è altresì l'unica congruenza (3, n) priva di linea singolare e contenuta in 

 un complesso lineare. 



Questa congruenza, al pari di ogni altra contenuta in un complesso lineare, è 

 di rango zero. Invero, il fascio determinato da due rette qualunque della congruenza 

 fra loro incidenti deve appartenere tutto al complesso lineare in cui la congruenza 

 è contenuta ; e perciò una retta che non stia in questo complesso non potrà appar- 

 tenere a nessuno di quei fasci. — Dalla forinola generale del n° 2 segue pertanto 

 che la detta congruenza (3,3) avrà il genere sezionale quattro; il che può ricono- 

 scersi anche direttamente ( 2 ). Essa ha una superficie focale di 12° ordine e 12 a classe, 

 con curva cuspidale di ordine 30 ( a ); e non è in generale rappresentabile sul piano ( 4 )« 



(') Cfr. la Nota: Ueber einen liiiiewjeometrischen Satz, " Gott. Nacbr. „, 1872; " Math. Ann. „, 

 Bel. 22, p. 234. 



(') Infatti la superficie immagine di questa congruenza sarebbe una F" dello spazio S 4 , inter- 

 sezione di una quadrica e di una varietà cubica. Le sue sezioni iperpiane sono dunque sestiche di 

 S 3 , intersezioni di una quadrica e di una superficie del 3° ordine, e perciò (in generale) di genere 4. 

 Cfr. anche la mia Mera. cit. negli Annali di Matem., n° 7. 



( 3 ) Voss: Ueber Complexe und Congruenzen, " Mathem. Ann. „, Bd. 9, p. 138; Schumacher Clas- 

 sification der algebraisehen Strahlensysteme, " Matbem. Ann. „, Bd. 37, p. 124. 



( 4 ) Cfr. ancora la mia Mem. cit., n° 7. 



