NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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Inoltre, se S è il vertice di uno di questi coni, le oc* rigate R,"+ 3 ~' 1 aventi per 

 direttrici le rette passanti per S avranno a comune con quel cono una sola gene- 

 ratrice variabile (poiché le altre due loro generatrici uscenti da S coincideranno col 

 raggio triplo della congruenza). E di qui si trae che i sei coni singolari sono tutti 

 razionali. 



Infine, il raggio triplo di 2 a specie (v) deve considerarsi come una curva fon- 

 damentale propria t, di genere zero od uno (n° 8 bis), del sistema lineare T costi- 

 tuito, nella data congruenza, dalle rigate R" +3 intersezioni di quest'ultima coi com- 

 plessi lineari. Il sistema residuo di f rispetto a T si comporrà di curve Ti di un 

 certo genere p — i (i = 2, 3; cfr. n° 15) incontranti t in tre punti variabili. In par- 

 ticolare, alla rigata R" +3 di direttrice v, la quale è composta dei 6 coni che hanno 

 il vertice sopra v e ha perciò v come retta sestupla, corrisponderà una curva Ti che 

 conterrà ancora t come parte, e si spezzerà precisamente in t e in sei curve razio- 

 nali (i sei coni) aventi ciascuna un punto a comune con y (e non incontrantisi l'una 

 coll'altra). Questa particolare curva Ti avrà dunque lo stesso genere (zero o uno) 

 di t; e sarà perciò p — i — O oppure = 1. In ogni caso sarà dunque p<i-\- 1; e 

 quindi, poiché i < 3, anche p < 4, c. s. v. d. 



Anzi, poiché si ha precisamente i — 2 o i==3 secondo che la curva fondamen- 

 tale T è (o almeno va computata come) di genere zero o uno, così nel primo caso 

 sarà sempre p = 2, e nel secondo caso p = 4. E questo risulterà anche confermato 

 in seguito. 



§ 3. 



Teme di raggi della congruenza contenute in uu fascio. 

 Multiplicità del luoghi cp. (P), (l) nei punti singolari. 



19. — Nelle nostre ricerche sulle congruenze del 3° ordine non ci siamo an- 

 cora domandati se i tre raggi della congruenza uscenti da un punto generico dello 

 spazio possano o no stare sempre in un piano; e, quando ciò non avvenga per ogni 

 punto, se lo stesso fatto possa verificarsi per punti particolari (all'infuori dei punti 

 singolari). 



Supponiamo che si abbia una congruenza (3, n), priva di linea singolare, e tale 

 che i tre raggi di essa uscenti da un punto qualunque dello spazio stiano in un 

 piano. La classe /t sia, se possibile, > 3. Allora gli n raggi della congruenza con- 

 tenuti in un piano generico dovranno formare una configurazione tale, che per il 

 punto d'incontro di due qualunque di essi ne passi anche un terzo. — Conside- 

 rato poi un raggio generico g della congruenza, da ogni punto di esso dovranno 

 escire altri due raggi di questa, contenuti in un piano per g\ e in ogni piano 

 per g dovranno stare altri n — 1 raggi, che, distribuiti in coppie, incontre- 

 ranno g in ^-g — punt i tutti variabili con quel piano (non potendovi essere sopra g 

 punti singolari). Nasce cosi tra il fascio di piani di asse g e la punteggiata g una 

 corrispondenza 1, M ~^J; e vi saranno perciò n — 3 piani passanti per g, pei quali 



due dei punti corrispondenti sono venuti a coincidere. Questi piani sono tutti piani 

 focali, e anzi piani focali affatto generici. Ora, in ciascuno di questi piani sono in- 



