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GINO FANO 



da cui p = 2. E in modo analogo si potrebbe anche ragionare se u contenesse uno 

 o due punti singolari. Ma, per comprendere anche il caso in cui ti sia generatrice 

 cuspidale, preferiamo considerare direttamente il genere della rigata formata 

 da tutte le rette della congruenza che si appoggiano a u. 



Ora, se u contiene due punti singolari, la solita rigata R" +3 si spezza nei due 

 coni corrispondenti, i quali avranno due generatrici (sovrapposte) a comune, e in 

 una rigata razionale che con ciascuno di quei coni avrà a comune al più una 

 generatrice. (E questa generatrice comune vi sarà precisamente ogni qual volta si 

 tratti di un cono dal cui vertice non esca alcun raggio isolato della congruenza). 

 Pertanto, se i due coni sono entrambi ellittici, si avrà : 



p = (l + l+0)+(2+ 1 + 1) — 2 = 4; 



e in ogni altro caso sarà p < 4. 



Se u contiene un solo punto singolare, la rigata R""*" 3 si spezza nel cono uscente 

 da questo punto e in una rigata residua razionale R^ Queste due parti hanno a co- 

 mune due generatrici sovrapposte a u (essendo u direttrice semplice e generatrice 

 doppia della rigata R^, e eventualmente anche un'altra generatrice uscente dal punto 

 singolare sopra u (se da questo punto non esce nessun raggio isolato). Sarà dunque 

 in ogni caso ^> < 1 -J— — (— 3 — 1, ossia p < 3. 



Infine, se w non contiene punti singolari, la rigata R" +3 è irriducibile e razio- 

 nale; ma ciascuno dei due raggi (semplici per la congruenza) sovrapposti ad « è 

 generatrice doppia di essa (senza che compaiano in generale altre singolarità) ; e 

 questo fa sì che la rigata debba avere il genere inferiore di due unità al genere 

 sezionale della congruenza ( 1 ). Sarà perciò p — 2 (cfr. anche sopra). 



Concludiamo pertanto : 



11 genere, sezionale di tma congruenza del 3° ordine avente qualche raggio doppio 

 o triplo di prima specie non può essere superiore a 4. Ed è eguale a 4 sempre e solo 

 quando ciascuno di questi raggi sia generatrice (doppia o tripla) comune a due coni 

 ellittici della congruenza. 



18. — Anche una congruenza (3,rc) contenente un raggio triplo di 2" specie è di 

 genere sezionale p<^\ e lo dimostriamo subito (benché ciò non sia necessario in se- 

 guito) per rendere più semplici le considerazioni che dovremo fare al § 5. 



Un raggio triplo di 2 a specie contiene in generale sei punti singolari (e certo 

 non ne contiene di più). Esso è infatti (in generale) generatrice semplice dei coni 

 a cui appartiene ; e se questi coni sono in numero di j. lo stesso ragionamento del 

 n° 1 6 conduce a stabilire le due relazioni : 



I/ t = n + 3 Z(h— l) = Z/i— ; = n — 3 



dalle quali si ricava appunto j — 6. 



(') In sostanza, si tratta di una curva dalla quale si sono staccate due componenti eccezionali 

 (punti), e la cui parte residua ha, con ciascuna di quelle componenti, due punti a comune. Allora, 

 se p è il genere della curva totale, sarà p — 2 il genere di questa parte residua. 



