NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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littici della congruenza; sarà =3 se di questi coni uno è ellittico e l'altro razio- 

 nale, e sarà 2 se i due coni sono entrambi razionali. In nessun caso esso sarà < 2. 



Per un raggio triplo non appartenente alla superficie focale della congruenza 

 (ossia risultante dalla sovrapposizione di tre raggi a due a due non infinitamente 

 vicini) si potrebbe giungere allo stesso risultato anche con quest'altra osservazione; 

 che cioè i due punti singolari appartenenti a quel raggio sono le sole intersezioni 

 di questo raggio colla superficie focale (di ordine 2p -f- 4), e sono punti al più sestupli 

 per tale superficie. Sarà dunque 2p 4- 4 < 12, e perciò p < 4. 



17. — La stessa proprietà p<4 sussiste anche nel caso in cui la congruenza, 

 pur non contenendo raggi tripli, contenga tuttavia qualche raggio doppio (sempre 

 di prima specie). Non possiamo asserire che anche un raggio doppio u di prima 

 specie debba sempre contenere due punti singolari della congruenza; ma certo esso 

 non può contenerne più di due. Supposto infatti che ne contenga un certo numero j, 

 e che questi siano vertici di coni singolari degli ordini rispett. hi, h 2 , . . . h } (essendo 

 perciò Z/t < n-4-3), ne seguirà che un piano generico passante per u dovrà conte- 

 nere, oltre alle generatrici sue intersezioni coi diversi coni, altre 



(» — 2) — I (h — 2) — n — Th -f 2(; — 1) 



rette della congruenza. E siccome queste rette, supposto che ve ne siano, saranno 

 a lor volta generatrici di una rigata di ordine n -j- 3 — Th (residua degli j coni ri- 

 spetto alla R n_f1 complessiva di direttrice u), cosi avremo in ogni caso: 



n — ZA-j- 2 (j — 1) < n + 3 — Zh. 



E di qui si ricava 2 (;' — 1)<3, e quindi j<2, c. s. v. d. 



Bisognerà ora esaminare separatamente i tre casi di un raggio doppio u pas- 

 sante per due punti singolari, oppure per uno solo o per nessuno di tali punti. 



Se il raggio u non appartiene alla superficie focale, si possono facilmente con- 

 tare i piani tangenti che per esso possono condursi a quella superficie; ed egua- 

 gliandone poi il numero complessivo (tenuto conto anche delle rispettive multipli- 

 cità) alla classe 2 (n -\-p — 1) della superficie stessa, si ha una relazione dalla quale 

 scompare n, e scompaiono pure gli ordini degli eventuali coni singolari contenenti 

 il raggio u ; sicché si potrà ricavarne il valore di p. Ad es., se u non contiene punti 

 singolari, ed è perciò tangente alla superficie focale in quattro punti distinti, vi 

 saranno intanto, fra i piani tangenti alla superficie focale che passano per u, quelli 

 che la toccano in questi quattro punti, da contarsi due volte ciascuno. Di più, nella 

 solita R" +3 di direttrice u (ora razionale e irriducibile) i piani per i< determineranno 

 una serie lineare <^_j> , contenente 2 (n — 3) gruppi con un elemento doppio ; e i 

 piani di questi gruppi saranno precisamente quelli che passano per u e toccano la 

 superficie focale in un punto fuori di u. Sarà dunque : 



8 -{- 2 (n — 3) = 2 (n -f p — 1) 



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