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GINO FANO 



16. — Le rette di una congruenza (3,n) che si appoggiano a una retta gene- 

 rica l dello spazio formano, come già più volte si è detto, una rigata R" +3 avente l 

 per direttrice tripla. Se però la retta l appartiene alla congruenza, da ogni suo punto 

 non esciranno che due generatrici variabili di quella rigata; e questa sarà perciò 

 iperellittica. Se facciamo un altro passo, e supponiamo che l sia un raggio doppio 

 della congruenza, da ogni punto di essa escirà una sola generatrice variabile della 

 rigata R" +3 , e questa sarà perciò razionale. Infine, se l è raggio triplo della con- 

 gruenza, ogni suo punto dal quale esca un altro raggio di questa sarà necessaria- 

 mente un punto singolare. La rigata R" +3 delle rette della congruenza che si appog- 

 giano a un raggio triplo (supposto esistente) dovrà dunque spezzarsi in due o più 

 coni singolari (due almeno, non potendovi essere coni di ordine > n). E dai vertici 

 di questi coni non potranno nemmeno escire raggi isolati della congruenza. 



Un raggio triplo di una congruenza (3, n) deve dunque contenere almeno due punti 

 singolari di questa. E si riconosce anche facilmente che un raggio triplo di l a specie, 

 dovendo essere pure triplo per ciascuno dei coni singolari uscenti da punti di esso 

 (n 1 11-12), non può nemmeno contenere più di due punti singolari. Supposto infatti 

 che ne contenga un certo numero j, dai quali escano coni singolari degli ordini 

 rispett. h lf h 2 , ■ ■■ hj, si avrà la relazione: 



hi -f- h t + — -f- = J.h == » -j- 3. 



E poiché un piano generico passante per il raggio triplo deve contenere, all'infuori 

 di questo, altri n — 3 raggi della congruenza; e questi non possono risultare che 

 dalle hi — 3, /* 2 — 3, . . . generatrici secondo cui quel piano incontra ulteriormente i 

 diversi coni; cosi dovrà anche essere: 



I (h — 3) = ZA — Sj = n — 3. 



E sottraendo la seconda relazione membro a membro dalla prima: 



3; = 6 ossia ; — 2. 



Concludiamo perciò : Un raggio triplo di prima specie di una congruenza (3, n) 

 deve sempre congiungere due punti singolari di questa, e non può contenere, all'infuori 

 di questi due, altri punti singolari. 



Se esiste pertanto un raggio triplo u di prima specie, i due coni singolari a 

 cui esso appartiene dovranno formare insieme una rigata riducibile R" +3 , il cui genere, 

 valutato secondo la solita forinola del genere di una curva riducibile (cfr. n° 8), 

 dovrà risultare eguale al genere sezionale p della congruenza. Ora quei due coni hanno 

 a comune soltanto le tre generatrici sovrapposte ad u; dunque, se p' e p" sono i 

 generi di tali coni, sarà precisamente p =p' +^"4-3 — \ =p' -\-p" -f- 2. E poiché 

 p' e p" sono entrambi < 1 (n° 8), cosi dovrà essere p < 4, vale a dire : 



Il genere sezionale di una congruenza (3, n) contenente un raggio triplo di prima 

 specie non può essere superiore a 4. 



Possiamo anzi affermare che il genere sezionale sarà = 4 ogni qual volta i due 

 punti singolari che appartengono al raggio triplo siano entrambi vertici di coni el- 



