NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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condo tipo. Lo stesso avviene pure, fino a un certo punto, per le congruenze del 

 3° ordine; ma per queste la presenza di raggi tripli di 2 a specie può influire sul 

 genere della congruenza, considerata come superficie (o varietà oo 2 ), e quindi su altre 

 proprietà di essa. 



15. — Le due specie di raggi multipli che abbiamo incontrate si distinguono 

 anche nel loro comportamento rispetto alla superficie focale della congruenza. 



Un raggio doppio u di prima specie non cuspidale non appartiene alla superficie 

 focale della congruenza ( 1 ). Infatti, applicando il ragionamento del n° 3 a una retta l 

 incontrante questo raggio «, il piano lu appare soltanto come uno degli r piani che 

 contengono una coppia di rette della congruenza formanti fascio con l, ed è perciò 

 una delle coincidenze che non conducono a intersezioni di l colla superficie focale. 

 D'altronde il punto lu non è nemmeno un punto per il quale due fra i raggi della 

 congruenza che ne escono siano infinitamente vicini. 



Invece, un raggio doppio di prima specie cuspidale appartiene alla superficie focale, 

 perchè i due raggi sovrapposti uscenti da un suo punto qualunque sono infinitamente 

 vicini (come raggi della congruenza). Un punto generico di un tal raggio è punto 

 semplice della superficie focale; e questa è ivi toccata da un piano determinato pas- 

 sante pel raggio medesimo ( 2 ). 



Infine, un raggio doppio di seconda specie appartiene pure alla superficie focale 

 (poiché i due raggi della congruenza uscenti da un punto qualunque di esso e ad 

 esso sovrapposti sono infinitamente vicini entro la congruenza), e ne è anzi in gene- 

 rale retta doppia ( 3 ). Ciò può vedersi nel modo seguente. Se l è una retta qualunque 

 dello spazio incidente al raggio doppio di 2 a specie v, le rette della congruenza che 

 si appoggiano a l formeranno una rigata di genere (non superiore, ed eguale in ge- 

 nerale a) p — 1, nella quale la serie lineare g l m dei gruppi di generatrici uscenti dai 

 singoli punti di l conterrà 2(m-\-p — 2) gruppi con elemento doppio. Tante dunque 

 sono le intersezioni di l, fuori del punto Ir, colla superficie focale (che è di ordine 

 2)m-\-p — 1J): e le rimanenti due cadranno perciò in Iv, c. s. v. d. 



Queste osservazioni si estendono facilmente ai raggi tripli. In particolare, un 

 raggio triplo di 2 a specie apparterrà non soltanto alla superficie focale della con- 

 gruenza, ma anche alla sua curva cuspidale (luogo dei punti per cui coincidono tre 

 dei raggi della congruenza che ne escono). E se le rigate R" +3 contenenti questo 

 raggio sono di genere p — i, il raggio stesso sarà la retta 2i pla per la superficie fo- 

 cale. Quanto ad i, esso avrà in generale (se non si aggiungono cioè singolarità ulteriori) 

 il valore 2 o il valore 3, secondo che al raggio considerato corrisponde sulla super- 

 ficie immagine della congruenza un punto triplo apparente, oppure non apparente. 



(') Sturm, Op. cit., II, p. 52, n° 319. Sembra però che il sig. Stukm non abbia avvertita l'ecce- 

 zione presentata (anche per congruenze di 2° ordine) dai raggi cuspidali. 



Nelle congruenze (3, n) di genere sezionale uno ottenute dai sig. r! Segbe e Castelnuovo nelle 

 loro Mem. cit. come proiezioni di varietà cubiche (M§) dello spazio S 4 , si vede chiaramente che, 

 quando un raggio doppio diventa cuspidale, esso appartiene altresì al contorno apparente della 

 considerata, e perciò appunto alla superficie focale della congruenza proiezione. 



( 3 ) Stdrm, Op. cit., II, p. 195, n° 401. 



